【N皇后问题】【leetcode51】（Java）

【N皇后问题】【leetcode51】

问题描述

八皇后问题，一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题由国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于 1848 年提出：在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。高斯认为有 76 种方案。1854 年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了 40 种不同的解，后来有人用图论的方法解出 92 种结果。计算机发明后，有多种计算机语言可以编程解决此问题。

输出结果要求

输入: 4
输出: [
 [".Q..",  // 解法 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // 解法 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]

解题思路

针对N皇后问题，若要求解出所有可能的解，这必须列举出N个皇后位置所有的可能组合。一种求解方式就是把N个皇后在棋盘中的所有位置的组合都列举出来，然后依次判断每一个组合会不会出现攻击。这种方法的时间复杂度 O(N^N)，显然复杂度是相当高的。
为了能够简化时间复杂度，我们在按照一行一行的当时去放置N个皇后，每行都会放置一个皇后，并且该行放置皇后的位置最大为N；一旦本行的皇后确定了位置后，那么 她所在的行(row)，列(col)，左斜(hill)，右斜(dale) 都不能再放皇后，这样，考虑下一行的皇后的位置时可能的位置就必须避开这些位置。

对于第一行，有N个位置可以放置皇后；
对于第二行，有N - 3个位置可以放置皇后；

因此，我们一行一行的放置皇后的位置，如果发现该行没有可以放置皇后的位置时，则回溯到上一行重新放置上一行的皇后的位置。这就是回溯算法。
实现
观察棋盘，一共有 N 个row， N 个col，2N - 1 个hill，2N - 1 个dale。因此，为了能够记录哪一行、列、斜不能放置皇后，引入数组 记录：

	int n;
    int[] rows; // 所在行是否有queen
    int[] hills;  // 左斜是否有queen
    int[] dales;  // 右斜是否有queen
    int[] queens; // 每列queen 放置的位置

判断 该位置 是否能放置皇后

    private boolean isAttack(int row, int col){
     
        int res = rows[col] + hills[row - col + 2 * n] + dales[row + col];
        return res == 0;
    }

放置皇后， 在位置（row，col）放置皇后后，需更新 rows, hill, dales数组

    private void placeQueen(int row, int col){
     
        queens[row] = col;
        rows[col] =  1;
        hills[row - col + 2 * n] = 1;
        dales[col + row] = 1;
    }

移走皇后，在位置（row，col）移走皇后后，需更新 rows, hill, dales数组

    private void removeQueen(int row, int col){
     
        queens[row] = 0;
        rows[col] = 0;
        hills[row - col + 2 * n] = 0;
        dales[col + row] = 0;
    }

所有位置都放置好后，生成所需要的字符串列表

    private void addSolution(){
     
        List<String> solution = new ArrayList<>();
        for(int i = 0; i < n; i ++){
     
            int col = queens[i];
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for(int j = 0; j < col; j ++)
                sb.append(".");
            sb.append("Q");
            for(int j = col + 1; j < n; j ++)
                sb.append(".");
            solution.add(sb.toString());
        }
        output.add(solution);
    }

核心回溯算法

    private void backtrace(int row){
     
        for(int col = 0; col < n; col ++){
     
            if(isAttack(row, col)){
     
                placeQueen(row, col);
                if(row == n - 1)
                    addSolution();
                else
                    backtrace(row + 1);
                removeQueen(row, col);
            }
        }
    }

整体代码

class Solution {
     
    int[] rows; // 所在行是否有queen
    int[] hills;  // 左斜是否有queen
    int[] dales;  // 右斜是否有queen
    int n;
    int[] queens; // 每列queen 放置的位置
    List<List<String>> output;
    public List<List<String>> solveNQueens(int n){
     
        this.n = n;
        rows = new int[n];
        hills = new int[4*n - 1];
        dales = new int[2*n - 1];
        queens = new int[n];
        output = new ArrayList<>();
        backtrace(0);
        return output;

    }

    private boolean isAttack(int row, int col){
     
        int res = rows[col] + hills[row - col + 2 * n] + dales[row + col];
        return res == 0;
    }

    private void placeQueen(int row, int col){
     
        queens[row] = col;
        rows[col] =  1;
        hills[row - col + 2 * n] = 1;
        dales[col + row] = 1;
    }

    private void removeQueen(int row, int col){
     
        queens[row] = 0;
        rows[col] = 0;
        hills[row - col + 2 * n] = 0;
        dales[col + row] = 0;
    }

    private void addSolution(){
     
        List<String> solution = new ArrayList<>();
        for(int i = 0; i < n; i ++){
     
            int col = queens[i];
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for(int j = 0; j < col; j ++)
                sb.append(".");
            sb.append("Q");
            for(int j = col + 1; j < n; j ++)
                sb.append(".");
            solution.add(sb.toString());
        }
        output.add(solution);
    }

    private void backtrace(int row){
     
        for(int col = 0; col < n; col ++){
     
            if(isAttack(row, col)){
     
                placeQueen(row, col);
                if(row == n - 1)
                    addSolution();
                else
                    backtrace(row + 1);
                removeQueen(row, col);
            }
        }
    }
}