Codeforces 1197 D. Yet Another Subarray Problem

给出一个长度为\(n\)的序列\(a_i\)，并给出两个数\(m,k\)，求\(\max\{\sum\limits_{1 \leq l \leq r \leq n}a_i-k\left \lceil \frac{r-l+1}{m} \right \rceil\}\)。(\(n \leq 3 \cdot 10^5\),\(m \leq 10\),\(-10^9 \leq a_i,k \leq 10^9\))

解题思路

考场上一直在想线段树，可线段树对于这种整除分块状物实在不好维护……

这是一个变种的最大连续子段和问题。我们从DP的角度来思考。每一项可以选择自己作为开头，也可以选择继承（接在后面）。接下来考虑在继承的时候需要前面子问题的哪些信息——事实上我们并不需要知道子问题中最大子段的确切长度，因为我们只关心这一轮要不要多减一个\(k\)。因此我们只需要知道之前子问题最大子段长度对\(m\)取模的值就好了。幸运的是模\(m\)的剩余系最大只有\(10\)，因此直接令\(dp_{i,j}\)表示在前\(i\)项中必须选第\(i\)项，且长度模\(m\)为\(j\)的答案最大值。

\(Code\)

需要考虑的细节比较多。首先\(dp_{i,0}\)如果包括空的情况，那么转移到\(dp_{i+1,1}\)时显然会出错（没有\(-k\)）。因此我们需要规定\(dp_{i,0}\)表示的长度至少为\(m\)，而在转移时手动完成空的情况。另外，当\(m=1\)时不再是\(j=1\)时\(-k\)了，因为\(j\)永远到不了\(1\)，需要特判。

/*DennyQi 2019*/
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define int long long
using namespace std;
const int N = 300010;
const int P = 998244353;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
inline int mul(const int& a, const int& b){ return 1ll*a*b%P; }
inline int add(const int& a, const int& b){ return (a+b>=P)?a+b-P:a+b; }
inline int sub(const int& a, const int& b){ return (a-b<0)?a-b+P:a-b; }
inline int read(){
    int x(0),w(1); char c = getchar();
    while(c^'-' && (c<'0' || c>'9')) c = getchar();
    if(c=='-') w = -1, c = getchar();
    while(c>='0' && c<='9') x = (x<<3)+(x<<1)+c-'0', c = getchar(); 
    return x*w;
}
int n,m,k,zr,ans,a[N],dp[N][11]; 
signed main(){
    // freopen("file.in","r",stdin);
    // freopen("qxz.out","w",stdout);
    n = read(), m = read(), k = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 0; j < m; ++j){
            if(i < j) continue;
            if(j == 0 && i >= m){
                dp[i][j] = dp[i-1][m-1]+a[i]-k*(m==1);
                if(m == 1){
                    dp[i][j] = max(dp[i][j],a[i]-k);
                }
            }else if(j > 0 && i >= j){
                if(j == 1){
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][0],(int)0)+a[i]-k;
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+a[i];
                }
            }
            ans = max(ans,dp[i][j]);
            // printf("dp[%lld][%lld] = %lld\n",i,j,dp[i][j]);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/qixingzhi/p/11245222.html