关于汉诺塔问题

 

Problem Description

  约19世纪末，在欧州的商店中出售一种智力玩具，在一块铜板上有三根杆，最左边的杆上自上而下、由小到大顺序串着由64个圆盘构成的塔。目的是将最左边杆上的盘全部移到右边的杆上，条件是一次只能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘的上面。
现在我们改变游戏的玩法，不允许直接从最左(右)边移到最右(左)边(每次移动一定是移到中间杆或从中间移出)，也不允许大盘放到下盘的上面。
Daisy已经做过原来的汉诺塔问题和汉诺塔II，但碰到这个问题时，她想了很久都不能解决，现在请你帮助她。现在有N个圆盘，她至少多少次移动才能把这些圆盘从最左边移到最右边？

Input

  包含多组数据，每次输入一个N值(1<=N<=35)。

Output

  对于每组数据，输出移动最小的次数。

Sample Input

  1
3
12

Sample Output

  2
26
531440

问题分析

Problem Analyse

  递推题

Algorithm Analyse

  汉诺塔是我很喜欢玩的一个游戏。
如果规则没这么变态，允许直接从1跨越到3，那n个盘最少需要2ⁿ - 1次。
这个公式可以递推得到，很容易的，你可以试一下，这里就不阐述了。

而这一题同样可以用递推得到。我们先来看看下面一组图，了解一下如何把n个盘从1搬到3。

第1步:初始状态

第2步:把上面的n-1个盘移到第3号杆上

第3步:把第n个盘从1移到2

第4步:把前n-1个从3移到1，给第个盘让路

第5步:把第n个盘从2移到3

第6步:把前n-1个从移到3，完成移动

我们设f(n)为把n个盘从1移到3所需要的步数，当然也等于从3移到1的步数。
看什么的图就知道，要想把第n个盘从1移到3，需要想把前n-1个从1移动3，再从3->1最后再1->3。
而第n个盘要从1->2->3经历2步。
∴f(n) = 3 × f(n-1) + 2;
  f(1) = 2;

 

 

 

典型递归题。看了源码。发现真的可以好简单。

#include #include int main(void) { int n; while (scanf("%d", &n) != EOF) printf("%.0f/n", pow(3, n) - 1); return 0; }

 

 

2077 汉诺塔IV

Problem Description

  还记得汉诺塔III吗？他的规则是这样的：不允许直接从最左(右)边移到最右(左)边(每次移动一定是移到中间杆或从中间移出)，也不允许大盘放到小盘的上面。xhd在想如果我们允许最大的盘子放到最上面会怎么样呢？（只允许最大的放在最上面）当然最后需要的结果是盘子从小到大排在最右边。

Input

  输入数据的第一行是一个数据T，表示有T组数据。
每组数据有一个正整数n(1 <= n <= 20)，表示有n个盘子。

Output

  对于每组输入数据，最少需要的摆放次数。

Sample Input

  2
1
10

Sample Output

  2
19684

 

 

 

Problem Analyse

  递推题

Algorithm Analyse

  既然最大的那个盘可以放在最上面，那就不用想汉诺塔III一样吧前n-1个盘全从1搬到3了。
只要从1搬到2，然后把第n个盘从1搬到2再搬到3，然后把这n-1个从2搬到3。
所以，问题转换成n个盘搬一步需要几次。但前n-1个盘和汉诺塔III的的规则是一样的。
所以，需要先把前n-2从1搬到3，然后把第n-1个盘从1搬到2，再把前n-2个盘从3搬到2。就完成了！
以为把n个盘按汉诺塔从1搬到3需要3ⁿ - 1(推导见2064)。
所以把n-1个盘移动1步，需要f(n) = f(n-1) + 3^n-1
而f(1) = 1
所以f(n) = 3^n-1 + 3^n-2 + ... + 3 + 1 = (3ⁿ - 1) / 2
所以按汉诺塔IV的规则来，搬n个盘需要m(n) = 2 * f(n-1) + 2 = 3^n-1 + 1

 

（其中f(n)=f(n-1)+3^n-1的原因是先把n-1个盘从1移到3（第二项），再把n-1个盘移动一步（第一项），根据等比数列求和公式，求得f(n),再由2064的推导法获得m(n))

 

 

#include #include int main(void) { int n, t; scanf("%d", &t); while (t-- && scanf("%d", &n)) printf("%.0f/n", pow(3, n-1) + 1); return 0; }