曲线拟合(2)——Richards曲线

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这是创新训练传染病的微分方程模型Richards曲线笔记

一、Richards模型

Logistic曲线拟合方法及初值的选取

1.1 Richards方程概述

因为COVID-19累计病人数具有慢-快-慢的变化特征，且初值较小，随着时间的延长逐渐增大，最终稳定在一个饱和值上。Logistics回归分析中的Richards模型能够很好地描述其初始生长阶段、快速增长阶段和稳定生长阶段的累计病人数变化情况。

图1

Richards方程可用下列微分方程描述
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\eta V^m-\gamma V\\ \\ V(t_0)=V_0\end{array}\end{array}$$
这是$m$次的$Bernoulli$微分方程，令$z=V^{1-m}$，解的其通解为
$$V(t)={\left\{(\frac{\eta }{\gamma })[1+(V_0^{1-m}-\frac{\eta }{\gamma }{\mathrm{e}}^{(m-1)\gamma t})]\right\}}^{1/(1-m)}$$

求解过程如下：

$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}V}\cdot \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=(1-m)V^{-m}\cdot \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$$
以$V^{-m}$同乘原微分方程两边，得
$$V^{1-m}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\eta -\gamma V^{1-m}$$
将$\frac{1}{1-m}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=V^{-m}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$和$z=V^{1-m}$代入上式得
$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\gamma (m-1)z+(1-m)\eta$$

这是非齐次线性微分方程，即$P(t)=\gamma (m-1),Q(t)=(1-m)\eta$，根据通解公式可得

$$\begin{array}{rl}z& ={\mathrm{e}}^{\int P(t)\mathrm{d}t}(\int Q(t)\cdot {\mathrm{e}}^{-\int P(t)\mathrm{d}t}\mathrm{d}t+c)\\ & ={\mathrm{e}}^{\int \gamma (m-1)\mathrm{d}t}(\int (1-m)\eta \cdot {\mathrm{e}}^{-\int (\gamma (m-1))\mathrm{d}t}\mathrm{d}t+c)\\ & ={\mathrm{e}}^{\gamma (m-1)t}(\int (1-m)\eta \cdot {\mathrm{e}}^{\gamma (1-m)t}\mathrm{d}t+c)\\ & ={\mathrm{e}}^{\gamma (m-1)t}(\frac{\eta }{\gamma }{\mathrm{e}}^{\gamma (1-m)t}+c)=V^{1-m}\end{array}$$

所以
$$V(t)=(\frac{\eta }{\gamma }{)}^{1/(1-m)}(1+\frac{\gamma c}{\eta }{\mathrm{e}}^{\gamma (m-1)t}{)}^{1/(1-m)}$$

其中$c$为任意常数

其中，$A=(\frac{\eta }{\gamma }{)}^{1/(1-m)}$，$B=-\frac{\gamma }{\eta }c$，$k=\gamma (1-m)$，且满足初值$V(t_0)=V_0$，即
$$V(t)=A(1-B{e}^{-kt}{)}^{1/(1-m)}$$
式中各参数的生物学意义是：$A$是累计生长的饱和值，$B$是生长初始值参数，$k$是生长速率参数，$m$是异速增长参数。

由上式可看出：${\lim }_{n\to \infty }V(t)=A$，此即累计生长的饱和值

1.2 Richards方程的性质

对于具有“S”型增长的Richards方程$V(t)=A(1-B{e}^{-kt}{)}^{1/(1-m)}$，根据
$$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\eta V^m-\gamma V=V(\eta V^{1-m}-\gamma )$$

由上式$V>0$时，推得当$0<V<(\frac{\eta }{\gamma }{)}^{1/(1-m)}$时，$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}>0$恒成立，即$V(t)$在$0<V<(\frac{\eta }{\gamma }{)}^{1/(1-m)}$是递增的

• $V(t)$是关于$t$的单调递增函数;

由上式对$t$求导，得
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}V}{\mathrm{d}{t}^2}=\eta m{V}^{m-1}-\gamma$$

令$\frac{{\mathrm{d}}^{2}V}{\mathrm{d}{t}^2}=0$，即得$V=(\frac{\eta m}{\gamma }{)}^{1/(1-m)}=A{m}^{1/(1-m)}$，此时
$$V=A{m}^{1/(1-m)}=A(1-B{e}^{-kt}{)}^{1/(1-m)}\Rightarrow t=\frac{1}{k}\cdot \ln \frac{B}{1-m}$$在该点上曲线的瞬时生长速率达到最大值，由$k=\gamma (1-m)$得$-\gamma =-\frac{k}{1-m}$，代入$A=(\frac{\eta }{\gamma }{)}^{1/(1-m)}$得$\eta =\frac{k}{1-m}{A}^{1-m}$，由$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\eta V^m-\gamma V$可得
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}& =\eta V^m-\gamma V\\ & =\frac{k}{1-m}{A}^{1-m}\cdot A^m{m}^{\frac{m}{1-m}}-\gamma A{m}^{1/(1-m)}\\ & =\frac{kA}{1-m}{m}^{\frac{m}{1-m}}(m^{-1}-1)\\ & =kA{m}^{m/(1-m)}\end{array}$$所以此时$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=kA{m}^{m/(1-m)}$

• 存在一个拐点$t=\frac{1}{k}\cdot \ln \frac{B}{1-m},V(t)=A{m}^{1/(1-m)}$，且$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=kA{m}^{m/(1-m)}$;

当$t\to \infty$时，$V(t)\to A$

• 存在一条渐进线，达到生物生长的饱和值;

还可分析当$m>1$或$m<1$时曲线的性质

二、Richards曲线拟合方法

2.1 Richards曲线初值的选取

2.1.1 最小二乘求导法

令$m-1=\delta$，即得$V(t)=A(1-B{\mathrm{e}}^{-Kt}{)}^{-1/\delta }$，对其用对数求导法得
$$\ln y=-\frac{1}{\delta }[\ln A+\ln (1-B{\mathrm{e}}^{-Kt})]$$
左右两边对$t$求导得
$$\frac{y^{\prime }}{y}=-\frac{1}{\delta }\cdot \frac{KB{\mathrm{e}}^{-Kt}}{1-B{\mathrm{e}}^{-Kt}}$$
整理得，即
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =-\frac{1}{\delta }\cdot \frac{KB{\mathrm{e}}^{-Kt}}{1-B{\mathrm{e}}^{-Kt}}\cdot A(1-B{\mathrm{e}}^{-Kt}{)}^{-1/\delta }\\ & =-\frac{1}{\delta }\cdot KB{\mathrm{e}}^{-Kt}\cdot y\cdot (\frac{y}{A}{)}^{\delta }\\ & =-\frac{KB}{\delta }{A}^{-\delta }\cdot {\mathrm{e}}^{-Kt}\cdot y^{\delta +1}\end{array}$$
再令$-B{A}^{-\delta }=C$，对上式取对数，得
$$\ln y^{\prime }=\ln (\frac{K}{\delta }C)+(\delta +1)\ln y(t)=Kt$$

用向后差分${\Delta }_{h}y(t)=y(t)-y(t-1)$估计$y^{\prime }$，并令
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\ln K+\ln C-\ln \delta ={\beta }_0\\ \delta +1={\beta }_1\\ -K={\beta }_3\end{array}\end{array}$$设误差为$e(t)$

即得
$$\ln {\Delta }_{h}y(t)={\beta }_0+{\beta }_1\ln y(t)+{\beta }_{2}t+e(t)$$
将其写成矩阵形式为
$$\left[\begin{array}{c}\ln {\Delta }_{h}y(2)\\ \ln {\Delta }_{h}y(3)\\ ⋮\\ \ln {\Delta }_{h}y(n)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& \ln y(2)& 2\\ 1& \ln y(3)& 3\\ ⋮& & \\ 1& \ln y(n)& n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}e(2)\\ e(3)\\ ⋮\\ e(n)\end{array}\right]$$
即
$$Y=X\beta +e$$

其中
$$X=\left[\begin{array}{ccc}1& \ln y(2)& 2\\ 1& \ln y(3)& 3\\ ⋮& & \\ 1& \ln y(n)& n\end{array}\right]$$
并且$Y=(\ln {\Delta }_{h}y(2)\ln {\Delta }_{h}y(2)\cdots \ln {\Delta }_{h}y(n){)}^T$，$\beta =({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_1{)}^T$，$e=(e(2)e(3)\cdots e(n{)}^T$

并假设有$E(e)=0,cov(e)={\sigma }^2{I}_{n\times n}$

此时变为线性模型，则根据最小二乘法估计原理可得
$$\hat{\beta }=L^{-1}{X}^{T}Y$$

其中，$L=X^{T}X$

到此即可估计出${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2$的值，进而可估计出$\delta ,K,C$的值

由$-B{A}^{-\delta }=C$及$V(t)=A(1-B{\mathrm{e}}^{-Kt}{)}^{-1/\delta }$可得
$$(\frac{A}{V(t)}{)}^{\delta }=1+C{A}^{\delta }{\mathrm{e}}^{-Kt}$$
即
$$A^{\delta }=V^{\delta }(t)\cdot (1+C{A}^{\delta }{\mathrm{e}}^{-Kt})$$
整理得
$$\begin{array}{rl}A& =(\frac{V^{\delta }(t)}{1-C{V}^{\delta }(t){\mathrm{e}}^{-Kt}}{)}^{1/\delta }\\ & \Rightarrow A=(V^{-\delta }(t)-C{\mathrm{e}}^{-Kt}{)}^{-1/\delta }\end{array}$$

代入一个点$(t,V(t))$，即可得$A$的估计式，进而得到$B$的估计式为$\hat{B}=-\hat{C}{\hat{A}}^{\delta }$。

综上所述，Richards增长曲线方程的四个待估参数的初始值得以确定。

而后利用L-M算法求得最优解。

2.1.2 加权最小二乘求导法

2.2 Richards曲线各参数的确定

对于如上的数据，首先求出一组初值

clear
clc
%确定四个待估参数的初始值
y=[41,45,62,291,440,571,830,1287,1975,2744,4515,5974,7711,9692,11791];
ydelta=y(2:end)-y(1:end-1);
lny=log(ydelta);n=length(y);
x1=ones(n-1,1);x2=log(y(2:end))';x3=2:n;x3=x3';
X=[x1,x2,x3];
Y=lny';
belta=(inv(X'*X))*X'*Y;
syms delta K C m A B
eq1=log(K)+log(C)-log(delta)==belta(1);
eq2=delta+1==belta(2);
eq3=-K==belta(3);
eq4=(y(4)^(-delta)-C*exp(-4*K))^(-1/delta)==A;
eq5=delta+1==m;
eq6=-C*A^delta==B;
[delta,K,C,m,A,B]=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,delta,K,C,m,A,B);
disp(vpa(A,4));disp(vpa(B,4));
disp(vpa(K,4));disp(vpa(m,4));

初值利用L-M算法求得最优解

图2

clear
clc
x=1:15;
%用所求初始值利用梯度降速算法求得最优解
y=[41,45,62,291,440,571,830,1287,1975,2744,4515,5974,7711,9692,11791];
c0=[14355,-172.2,0.3966,1.921];
fun=inline('c(1)*(1-c(2)*exp(-c(3)*x)).^(1/(1-c(4)))','c','x');
b=lsqcurvefit(fun,c0,x,y);disp(b);
t=0:0.1:30;T=fun(b,t);
plot(x,y,'rs',t,fun(b,t),'b');set(gca,'ygrid','on');
legend("真实值","预测曲线");xlabel("日数");ylabel("累计病人数");
hold on;
err=abs(sum(T(1:15)-y));disp(err);

同理可以用python做非线性最小二乘拟合

图3

''' 给定一组数据,利用非线性曲线拟合方法
    拟合Richards方程
'''
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

plt.style.use('ggplot') #使用ggplot绘图风格
#plt.rcdefaults() #恢复默认画图方式

#给出一组数据
x=np.array(range(1,16))
y=np.array([41,45,62,291,440,571,830,1287,1975,2744,4515,5974,7711,9692,11791])
plot1=plt.plot(x,y,'x',label="confirm")

c0=np.array([14355,-172.2,0.3966,1.921])#根据线性模型计算得到的一组初值
def func(x,a,b,c,d):
    result=a*(1-b*np.exp(-c*x))**(1/(1-d))
    return result

p_est,err_est=curve_fit(func,x,y,c0)
#print(p_est)

plot2=plt.plot(x,func(x, *p_est), "-",label="curve-fitting")
plt.legend(loc=0) #指定legend的位置右上角

三、Richards模型预测增长