判定有向图中的单连通图

参考：https://www.cnblogs.com/WABoss/p/5155591.html

参考：https://blog.csdn.net/qq_34374664/article/details/77488976

有向图是否是单连通图，即图中是否任意两点u和v都存在u到v或v到u的路径。

思路就是：

找出图中所有强连通分量，强连通分量上的点肯定也是满足单连通性的，然后对强连通分量进行缩点，缩点后就变成DAG（有向无环图）。

现在问题就变成，如何判断DAG是否是单连通图——用拓扑排序——如果拓扑排序过程中出现1个以上入度为0的点那就不是单连通图，因为有2个入度0的点，那这两个点肯定都无法到达对方。

另外，注意题目没说给的图是连通的！。。

第一步，求解有向图中所有的强连通分量（使用tarjan算法）

tarjan(u){

　　DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值（即DFS的访问序号）

　　Stack.push(u)   // 将节点u压入栈中

    instack[u] = 1 //标记u在当前栈中

    visited[u] = 1 //标记u已经访问

　　for each (u, v) in E // 枚举每一条边

　　　　if (visited[v] == 0) // 如果节点v未被访问过

　　　　　　　　tarjan(v) // 继续向下找（DFS向下）

　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], Low[v])

　　　　else if (instack[u] == 1) // v已经访问，若节点u还在栈内，即u在当前的DFS树上

　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], DFN[v]) //这里其实是一条回边/逆边

　　if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
        
        count++ //记录是第几个强连通分量

　　    do 
            v = Stack.pop  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

　　        print v
            
            belong[v] = count //顶点v属于第count个强连通分量

            instack[v] = 0 //标记v不在当前栈中

　　    while (u != v) //条件为真继续

}

这样我们就求解出了图中所有的强连通分量。接下来就是进行缩点。就是将一个强连通分量看成一个顶点。

第二步，缩点

不妨设原有向图为G, 缩点后的有向图为G'

思路：遍历有向图中的所有有向边

           若belong[u] == belong [v] 说明二点在同一强连通分量中，则遍历下一条边

           若belong[u] != belong [v] 说明二点在不同的强连通分量中，则需要往G' 中添加一条新边

                  其中new_u = belong[u] //u所在的那个强连通分量的缩点

                  其中new_v = belong[v] //v所在的那个强连通分量的缩点

            在遍历完后，就得到缩点后的G'，接下来就是对G'进行拓扑排序判定了

步骤三 对G' （此时其实有向无环图DAG）进行拓扑排序判定

           当对G'的拓扑排序每轮的入度为0的点仅为1个时，则G就是单连通图

           否则（比如存在多点的入度等于0时）G就不是单连通图