共轭梯度法求解线性方程组 Ax = b 的子程序,其中,A为系数矩阵,x为待求未知数向量,b为方程右端向量。
具体算法见
https://wenku.baidu.com/view/f5157b0c9a6648d7c1c708a1284ac850ac02047c.html?rec_flag=default
29页
这里需要注意的是共轭梯度法要求系数矩阵A是对称正定矩阵,也就意味着A不对称情况下没有稳定解。
import math
import numpy as np
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
def cg(A,b,x): #共轭斜量法
r = b-np.dot(A,x) #r=b-Ax r也是是梯度方向
p= np.copy(r)
i=0
while(max(abs(r))>1.e-10 and i < 100 ):
print('i',i)
print('r',r)
pap=np.dot(np.dot(A,p),p)
if pap==0: #分母太小时跳出循环
return x
print('pap=',pap)
alpha = np.dot(r,r)/pap #直接套用公式
x1 = x + alpha*p
r1 = r-alpha*np.dot(A,p)
beta = np.dot(r1,r1)/np.dot(r,r)
p1 = r1 +beta*p
r = r1
x = x1
p = p1
i=i+1
return x
n=10 #n 个解
A = np.array([ #系数矩阵,注意必须是正定对称矩阵
[1., 1., 0., 0., 0., 0, 0., 0., 0., 0],
[1., 1., 1. , 0., 0, 0., 0., 0., 0., 0],
[ 0., 1., 1. , 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0],
[ 0., 0., 1., 1., 1., 0., 0., 0. , 0., 0],
[ 0., 0., 0., 1., 1., 1.,0., 0., 0., 0],
[ 0., 0., 0., 0., 1., 1.,1., 0., 0., 0],
[ 0., 0. , 0. , 0. , 0., 1., 1., 1., 0., 0],
[ 0., 0., 0. , 0. , 0., 0., 1., 1., 1.,0],
[ 0., 0. , 0., 0, 0., 0., 0., 1.,1., 1.],
[ 0., 0. , 0. , 0, 0., 0., 0., 0., 1.,1],
])
b = np.array([2., 3., 3.,3., 3.,3., 3., 3., 3., 2.])
x = np.zeros(n, dtype = float)
f=cg(A,b,x) #调用共轭斜量法
print('x=',f)
'''
n = 6 #其他几个矩阵,测试用
A = np.array([
[-3., 1., 0. , 0. , 0., 0.5 ],
[1., -3., 1. , 0. , 0, 0. ],
[ 0., 1.,-3., 1., 0. , 0. ],
[ 0., 0. , 1., -3., 1., 0.],
[ 0., 0. , 0. , 1.,-3., 1.],
[ 0.5, 0. , 0. , 0. , 1., -3.],
])
b = np.array([2.5, 1.5, 1., 1., 1.5, 2.5])
n = 3
A = np.array([
[2.,0.,1.],
[0.,1.,0.],
[1.,0.,2.]
])
b = np.array([3.,1.,3.])
'''
#输出结果