【NIOIP2016提高】天天爱跑步（LCA+树上差分）

近几年复赛最难的树上问题了。

几个月前做是参照题解的方法，用了可持久化线段树在树上无脑维护和统计。

当时的做法早已忘记，于是回过来自己做了做，其实远没有那么难做，只要发现一些奇妙的性质。

 

对于一个玩家s->t，如图。

对于图中a点的观察员存在这样一个式子：w(a)=dep(a)-dep(lca)+dep(s)-dep(lca)。

对于图中b点的观察员存在这样一个式子：w(b)=(dep(s)-dep(lca))-(dep(b)-dep(lca))。

转化一下，对于a，有：w(a)-dep(a)=dep(s)-2*dep(lca)。也就是对于lca往下走的路径上的点满足这个性质。

对于b，有：w(b)+dep(b)=dep(s)。也就是对于s往上走的路径上的点满足这个性质。

 

于是看似很麻烦的统计问题被化简了：等式左端只与点i本身有关，右端对于每个玩家是一个定值，“时间”的影响被去掉了。

 

于是统计的话，就是s->t这条路径上所有满足上式的a，b。

可以想见，统计答案就是走到一个点i，然后统计目前已有多少个“w(i)-dep(i)”，以及多少个“w(i)+dep(i)”。

 

利用差分的思想，对于从lca往下走的路径，在t处将“dep(s)-2*dep(lca)”的计数加一，在lca处将其计数减一，那么这一段路上遍

历到每个节点时，满足上述式子的加上对应的计数即可。

同理，对于从s往上走的路径，在s处将“dep(s)”的计数加一，在lca处将其计数减一。

 

开三个变长数组，一个名为work，用于存所有从v往lca走的“dep(s)-2*dep(lca)”以及lca，一个名为work2，用于存所有从s往上走

到lca的“dep(s)”以及lca。

最后一个名为del，用于存当前节点需要把哪一个值的计数减一。

 

以work2为例，我们后序遍历整棵树，假如现在遍历到了i，我们先遍历它的一个儿子j，然后当儿子j递归回来后，i的答案加

上“w(i)+dep(i)”和“w(i)-dep(i)”遍历j前后计数之差。

然后将i的所有del进行操作，并把i的del清空。接下来遍历下一个儿子。进行类似的操作。

当所有的儿子遍历完，再来对i的work2操作，每次依然是加上对应计数前后之差，并且每操作一个work2，就在对应的lca的del加

入本次操作的值，等回到lca时就执行del操作。

work与此完全一致，之所以要分开统计，是为了避免“w(i)-dep(i)”与“w(i)+dep(i)”相同的情况。

 

特殊情况：若lca满足”w(lca)+dep(lca)=dep(s)“和“w(lca)-dep(lca)=dep(s)-2*dep(lca)”中的一个，那么必然两个都满足，所以在加入

work和work2时要特判减一。

 

注：此代码用了树剖求LCA，理论上可以节约时间空间。

 

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=300005;

int N,M;
int np=0;
int w[MAXN];

int fa[MAXN];
int son[MAXN];
int top[MAXN];
int dep[MAXN];
int size[MAXN];
int last[MAXN];

int ans[MAXN];
int cnt[MAXN<<2];

struct edge{
	int to,pre;
}E[MAXN<<1];
struct data{
	int v,to;
};

vectorwork[MAXN];
vectorwork2[MAXN];
vectordel[MAXN];

char c,num[20];int ct;
void scan(int &x){
	for(c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar());
	for(x=0;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+c-'0';
}
void print(int x){
	ct=0;
	if(!x)num[ct++]='0';
	while(x){num[ct++]=x%10+'0',x/=10;}
	while(ct--)putchar(num[ct]);
	putchar(' ');
}
void add(int u,int v){
	E[++np]=(edge){v,last[u]};
	last[u]=np;
}
void dfs1(int x){
	size[x]=1;
	for(int p=last[x];p;p=E[p].pre){
		int j=E[p].to;
		if(j==fa[x])continue;
		dep[j]=dep[x]+1; fa[j]=x;
		dfs1(j); size[x]+=size[j];
		if(size[j]>size[son[x]])son[x]=j;
	}
}
void dfs2(int x,int tp){
	top[x]=tp;
	if(!son[x])return;
	dfs2(son[x],tp);
	for(int p=last[x];p;p=E[p].pre){
		int j=E[p].to;
		if(j==fa[x]||j==son[x])continue;
		dfs2(j,j);
	}
}
int LCA(int u,int v){
	while(top[u]!=top[v]){
		if(dep[top[u]]dep[v])swap(u,v);
	return u;
}
void calc(int x,int f){
	int sz;
	int ct1=cnt[w[x]-dep[x]+MAXN];//ct1是对应计数上一次的数量
	for(int p=last[x];p;p=E[p].pre){
		int j=E[p].to;
		if(j==f)continue;
		calc(j,x);//先遍历 
		ans[x]+=cnt[w[x]-dep[x]+MAXN]-ct1;//加上前后之差 
		sz=del[x].size();//执行del操作 
		for(int i=0;i