python实现·十大排序算法之快速排序(Quick Sort)

简介

快速排序(Quick Sort)是对冒泡排序的一种改进，其的基本思想:选一基准元素，依次将剩余元素中小于该基准元素的值放置其左侧，大于等于该基准元素的值放置其右侧；然后，取基准元素的前半部分和后半部分分别进行同样的处理；以此类推，直至各子序列剩余一个元素时，即排序完成（类比二叉树的思想)。

算法实现步骤

1. 首先设定一个分界值(pivot)，通过该分界值将数组分成左右两部分。
2. 将大于或等于分界值的数据集中到数组右边，小于分界值的数据集中到数组的左边。此时，左边部分中各元素都小于或等于分界值，而右边部分中各元素都大于或等于分界值,这个称为分区（partition）操作。
3. 然后，左边和右边的数据可以独立排序。对于左侧的数组数据，又可以取一个分界值，将该部分数据分成左右两部分，同样在左边放置较小值，右边放置较大值。右侧的数组数据也可以做类似处理。
4. 重复上述过程，通过递归（recursive）将左侧部分排好序后，再递归排好右侧部分的顺序。当左、右两个部分各数据排序完成后，整个数组的排序也就完成了。

Python 代码实现

# quick_sort 代码实现

def partition(arr: List[int], low: int, high: int):
    pivot, j = arr[low], low
    for i in range(low + 1, high + 1):
        if arr[i] <= pivot:
            j += 1
            arr[j], arr[i] = arr[i], arr[j]
    arr[low], arr[j] = arr[j], arr[low]
    return j 

def quick_sort_between(arr: List[int], low: int, high: int):
    if high-low <= 1: # 递归结束条件
        return

    m = partition(arr, low, high)  # arr[m] 作为划分标准
    quick_sort_between(arr, low, m - 1)
    quick_sort_between(arr, m + 1, high)

def quick_sort(arr:List[int]):
    """
    快速排序(in-place)
    :param arr: 待排序的List
    :return: 快速排序是就地排序(in-place)
    """
    quick_sort_between(arr,0, len(arr) - 1)

# 测试数据

if __name__ == '__main__':
    import random
    random.seed(54)
    arr = [random.randint(0,100) for _ in range(10)]
    print("原始数据：", arr)
    quick_sort(arr)
    print("快速排序结果：", arr)

# 输出结果

原始数据： [17, 56, 71, 38, 61, 62, 48, 28, 57, 42]
快速排序结果： [17, 28, 38, 42, 48, 56, 57, 61, 62, 71]

动画演示

算法分析

• 时间复杂度

  快速排序最优的情况就是每一次取到的元素都刚好平分整个数组，此时的时间复杂度公式则为：
  $$T\left[n\right]=2T\left[\frac{n}{2}\right]+f\left(n\right)$$
  $T\left[n\right]$为平分后的子数组的时间复杂度，$f\left(n\right)$为平分这个数组时所花的时间；

  则有：
  $$\begin{gathered} T\left[n\right]=2T\left[\frac{n}{2}\right]+n\text{第1次递归}n=n \\ =2^{2}T\left[\frac{n}{2^2}\right]+2n\text{第2次递归}n=\frac{n}{2} \\ =2^{3}T\left[\frac{n}{2^3}\right]+3n\text{第3次递归}n=\frac{n}{2^2} \\ \cdots \cdots \\ =2^{m}T\left[\frac{n}{2^m}\right]+mn\text{第m次递归}n=\frac{n}{2^m} \end{gathered}$$
  当最后平分的不能再平分时有：
  $$\begin{gathered} T\left[\frac{n}{2^m}\right]=T\left[1\right] \\ \Rightarrow \frac{n}{2^m}=1 \\ \Rightarrow m={\log }_{2}n \\ \Rightarrow T\left[n\right]=n+n{\log }_{2}n=O(nlo{g}_{2}n) \end{gathered}$$
  快速排序最优的情况下时间复杂度为：$O\left(n{\log }_{2}n\right)$

  最差的情况就是每一次取到的元素就是数组中最小/最大值，这种情况其实就是冒泡排序了(每一次都排好一个元素的顺序)，这种情况时间复杂度就是冒泡排序的时间复杂度：
  $$T\left[n\right]=n\left(n-1\right)=n^2+n=O\left(n^2\right)$$
  快速排序最差的情况下时间复杂度为：$O(n^2)$

  快速排序的平均时间复杂度也是：$O\left(n{\log }_{2}n\right)$

• 空间复杂度

  首先就地快速排序使用的空间是$O(1)$的，也就是个常数级。真正消耗空间的就是递归调用了，因为每次递归就要保持一些数据。
  最优的情况是每一次都平分数组，空间复杂度为：$O(lo{g}_{2}n)$ ；
  最差的情况是退化为冒泡排序，空间复杂度为：$O(n)$；

• 稳定性

  排序过程中，相同的元素无法保证相对位置不变，因此快速排序属于不稳定排序。

• 综合分析

  时间复杂度(平均)	时间复杂度(最好)	时间复杂度(最坏)	空间复杂度	排序方式	稳定性
  $O(nlo{g}_{2}n)$	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(n^2)$	$O(lo{g}_{2}n)$	in-place	不稳定

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