反演公式总结

##定义

$$G_n=\sum _{i=0}^n{a}_{n,i}{F}_i$$
$$F_n=\sum _{i=0}^n{b}_{n,i}{G}_i$$

可认为$a$、$b$是两个下三角矩阵，且$a\cdot b=I$

###二项式反演
$$G_n=\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)F_i⟺G_n=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})F_i$$

###斯特林反演
$$G_n=\sum _{i=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right\}{F}_i⟺F_n=\sum _{i=0}^n\left[\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right]G_i$$

###莫比乌斯反演
$$f_n=\sum _{d|n}{g}_d⟺g_n=\sum _{d|n}{\mu }_{\frac{n}{d}}{f}_d$$

###集合形式

$$g_S=\sum _{T\subseteq S}{f}_T⟺f_S=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|S|-|T|}{g}_T$$

###最值反演
$$\max \{S\}=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-1}\min \{T\}$$
###推广
$$kth\max (S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{|T|-1}{k-1})\min (T)$$