学习笔记----二分图的最大匹配

今天了解了一下二分图的最大匹配，学习了一下，乘着自己还记忆比较深刻，赶紧的记下来，以便于复习与查看。

先说一下学习的出处主要是在网上看的博客与同学讲解、、感谢一下博主的分享

http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/26/2657446.html  博客园kuangbin

http://xuxiaoqi986.blog.163.com/blog/static/167376398201171710232714/ 网易博客 落飞

先说一下一些基本的定义吧：

1。二部图： 
 如果图G=(V,E)的顶点集何V可分为两个集合X,Y，且满足 X∪Y = V, X∩Y=Φ，则G称为二部图；图G的边集用E(G)表示，点集用V(G)表示。
2。匹配： 
 设M是E(G)的一个子集，如果M中任意两条边在G中均不邻接，则称M是G的一个匹配。M中的—条边的两个端点叫做在M是配对的。    
3。饱和与非饱和： 
  若匹配M的某条边与顶点v关联，则称M饱和顶点v，并且称v是M-饱和的，否则称v是M-不饱和的。 
4。交互道： 
  若M是二分图G＝(V,E)的一个匹配。设从图G中的一个顶点到另一个顶点存在一条道路，这条道路是由属于M的边和不属于M的边交替出现组成的，则称这条道路为交互道。 
5。可增广道路： 
  若一交互道的两端点为关于M非饱和顶点时，则称这条交互道是可增广道路。显然，一条边的两端点非饱和，则这条边也是可增广道路。 
6。最大匹配： 
  如果M是一匹配，而不存在其它匹配M'，使得|M'|>|M|，则称M是最大匹配。其中|M|表示匹配M的边数。 
7。对称差： 
  A，B是两个集合，定义 A?B = (A∪B)\(A∩B) 
  则A?B称为A和B的对称差。 
  定理：M为G的最大匹配的充要条件是G中不存在可增广道路。 
Hall定理：对于二部图G，存在一个匹配M，使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于 
X的任意一个子集A，和A邻接的点集为T(A)，恒有： |T(A)| >= |A|

其中A\B表示集合A和集合B的商集，即属于A且不属于集合B的集合。

（2）定理（依据）：

   定理：M为G的最大匹配的充要条件是G中不存在可增广道路。 
Hall定理：对于二部图G，存在一个匹配M，使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于 
X的任意一个子集A，和A邻接的点集为T(A)，恒有： |T(A)| >= |A| 
（3）匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，其——基本步骤：
  1．任给初始匹配M； 
2．若X已饱和则结束，否则进行第3步； 
3．在X中找到一个非饱和顶点x0， 作V1 ← {x0},  V2 ← Φ； 
4．若T(V1) = V2则因为无法匹配而停止，否则任选一点y ∈T(V1)\V2； 
5．若y已饱和则转6，否则做一条从x0 →y的可增广道路P，M←M?E(P)，转2； 
6．由于y已饱和，所以M中有一条边(y,z)，作 V1 ← V1 ∪{z}, V2 ← V2 ∪ {y}， 转4； 

一些基本的定理：

1。一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数
König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。
2。最小路径覆盖=最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数
 在一个N*N的有向图中，路径覆盖就是在图中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点，
 且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联；（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点，
 那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次）；如果不考虑图中存在回路，那么每每条路径就是一个弱连通子集．
由上面可以得出：
 1.一个单独的顶点是一条路径；
 2.如果存在一路径p1,p2,......pk，其中p1 为起点，pk为终点，那么在覆盖图中，顶点p1,p2,......pk不再与其它的
   顶点之间存在有向边．
最小路径覆盖就是找出最小的路径条数，使之成为G的一个路径覆盖．
 路径覆盖与二分图匹配的关系：最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数；
3。二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配
独立集：图中任意两个顶点都不相连的顶点集合。
另付模板一套：（不是原创）

#include
#include
int map[505][505];
int dis[505],m,n,inq[505];
int find(int t)
{
    int i;
    for(i=1; i<=m; i++)
    {
        if(inq[i]==0&&map[t][i])
        {
            inq[i]=1;
            if(dis[i]==-1||find(dis[i]))
            {
                dis[i]=t;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int max()
{
    int i,num;
    num=0;
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        memset(inq,0,sizeof(inq));
        if(find(i))
            num++;
    }
    return num;
}
int main()
{
    int k,a,b;
    while(scanf("%d",&k),k!=0)
    {
        memset(map,0,sizeof(map));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        while(k--)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            map[a][b]=1;
        }
        printf("%d\n",max());
    }
    return 0;
}