Codeforces Global Round 10 H. ZS Shuffles Cards(期望线性性 几何分布)

题目

牌堆上有n+m(n<=2e6,m<=2e6)张牌，n张是1到n的数字牌，m张是王牌，

初始时，n+m张牌被随机打乱放到牌堆上，主人公有一个初始为空的S集合，

每一秒，主人公都从牌堆顶抽一张牌，

（1）如果是数字牌，就会把这个数放到S集合中去，并把这张牌移除

（2）如果是王牌，

①如果S集合此时已经包含n个数，游戏结束

②否则， 把所有牌都放回牌堆，注意S集合内已放入的数保持不变，

再把n+m张牌随机打乱形成新的牌堆，继续抽取，打乱不计时间

问最后游戏结束的期望时间

思路来源

codeforces comment

https://www.cnblogs.com/Hs-black/p/13518909.html

https://www.cnblogs.com/st1vdy/p/13518667.html#4662181

题解

首先，证一波独立，证明看不懂，直接抄过来

E(ans)=E(每一轮迭代的秒数)*E(迭代的轮数)，称每一次抽到王牌为一次迭代

根据期望线性性，

E(每一轮迭代的秒数)

=E(每一张数字牌在所有王牌的左边)+1

=E(1在所有王牌左边)+E(2在所有王牌左边)+...+王牌产生的1秒贡献

=，1/(m+1)是只考虑这张数字牌和m张王牌

 

接下来求E(迭代的轮数)，记f(i)为还有i个数没搞到S里去时，到游戏结束时迭代轮数的期望

则对于f(1)来说，每次都是1/(m+1)的机会能搞进去，搞不进去就会一直重复，几何分布，期望为m+1

而对于f(i)来说，i/(m+i)概率搞到一张数字牌转移到f(i-1)，m/(m+i)搞到王牌浪费了一轮还需要f(i)轮，

，化简一下

 

二者相乘即可，第一部分不用期望线性性的做法是O(n)的，

可参考https://www.cnblogs.com/st1vdy/p/13518667.html#4662181

代码

#include
using namespace std;
const int mod=998244353;
int modpow(int x,int n,int mod){
    int res=1;
    for(;n;n>>=1,x=1ll*x*x%mod)
        if(n&1)res=1ll*res*x%mod;
    return res;
}
int inv(int x){
    return modpow(x,mod-2,mod);
}
int n,m,ans,sum;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    ans=(1ll*n*inv(m+1)+1)%mod;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        sum=(sum+inv(i))%mod;
    }
    sum=(1ll*sum*m+1)%mod;
    printf("%d\n",1ll*ans*sum%mod);
    return 0;
}