[联合集训6-15]相互再归的鹅妈妈 数位DP+斯特林反演

问题要求无序方案数，可以转化成求有序方案数再除以 n! n ! 即可。
先考虑去掉互不相同的限制，最后用斯特林数容斥掉即可。
可以发现从高往低扫，假如出现 R R 有一位是 1 1 ，而且有一个数这位填了 0 0 ，那么剩下的数就可以再 R R 的范围内随便填，因为最后都可以通过这个数把异或和调成 0 0 。于是我们可以通过枚举是哪一位最初发生了这种情况，求出 g(i) g ( i ) 表示选出 i i 个数异或和为 0 0 的方案数。
那么接下来可以枚举一个 n n 的集合划分，划在同一个集合里的数必须相同，不同集合之间没有要求（也就是相同的至少是这个集合划分），假设集合大小分别为 a1,a2,...,ak a 1 , a 2 , . . . , a k ，那么要使其异或和为 0 0 的方案数就是 g(∑ki=12∤ai) g ( ∑ i = 1 k 2 ∤ a i ) ，因为偶数大小集合没有贡献，根据斯特林反演，其容斥系数就为 ∏ki=1[ ai 1]=∏ki=1(−1)ai−1(ai−1)! ∏ i = 1 k [   1   a i ] = ∏ i = 1 k ( − 1 ) a i − 1 ( a i − 1 ) ! ，分别考虑每个集合的容斥系数乘起来不难证明。

代码：

#include
#include
#include
#define M 5000010
#define N 8
#define ll long long
#define up(x,y) x=(x+(y))%mod
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int n,m,K,w[M],p2[M][N],pw[M][N];
ll g[N],C[N][N],f[N],fac[N],ans;
char s[50010];
bool a[M];
ll ksm(ll a,ll b)
{
    ll r=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)
        if(b&1) r=r*a%mod;
    return r;   
}
void find(int num,int v)
{
    if(v>n)
    {
        ll c=1,cnt=0;
        for(int i=1;i<=num;i++)
            c=c*fac[f[i]-1]*((f[i]&1)?1:-1)%mod;
        for(int i=1;i<=num;i++)
            if(f[i]&1) cnt++;
            else c=c*w[1]%mod;
        up(ans,c*g[cnt]);   
        return ;
    }
    for(int i=1;i<=num+1;i++)
        f[i]++,find(max(num,i),v+1),f[i]--;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%s",&n,&K,s+1);
    m=strlen(s+1);
    for(int i=0;ifor(int j=1;j<=m;j++)
            a[i*m+j]=s[j]-'0';
    m*=K;
    for(int i=m,mi=1;i;i--,mi=(mi<<1)%mod)
        w[i]=(w[i+1]+mi*a[i])%mod;
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;  
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;C[i][0]=1,i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;                        
    bool flag=0;
    g[0]=1;
    for(int i=0,tmp=1;i<=m+1;i++,tmp=(tmp<<1)%mod)
    {
        p2[i][0]=pw[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            p2[i][j]=(ll)tmp*p2[i][j-1]%mod,pw[i][j]=(ll)w[i]*pw[i][j-1]%mod;
    }
    for(int i=1;i<=m;flag|=a[i],i++)
        if(a[i])
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!flag||!(j&1))
                for(int k=0;k<=((j-1)>>1);k++)
                    up(g[j],C[j][k<<1]*pw[i+1][k<<1]%mod*p2[m-i][j-(k<<1)-1]);

    find(0,1);
    printf("%lld",(ans+mod)*ksm(fac[n],mod-2)%mod);                 

    return 0;
}