【Nowcoder - 5670 C Easy】2020牛客暑期多校训练营（第五场）【生成函数、组合数学】

题意

若序列 $A$、$B$ 满足 $\sum _{i=1}^K{a}_i=N,\sum _{i=1}^K{b}_i=M$，则其对答案贡献为 $P=\prod _{i=1}^K\min (a_i,b_i)$，问所有满足条件的序列的总贡献是多少？
$(1\le N,M\le 10^6,1\le K\le \min (N,M))$

题目链接：$link$

参考题解：$link1$, $link2$

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思路

如果本题要求的是序列 $A$、$B$ 方案总数，那答案应该是 $S=(1+x^1+x^2+...+x^n{)}^k(1+y^1+y^2+...+y^m{)}^k$ 展开式中 $x^n{y}^m$ 的系数，但本题因为要求 $\prod _{i=1}^K\min (a_i,b_i)$，因此构造母函数为 $S=\sum _{i,j\in [1,\infty ]}\min (i,j)x^i{y}^j$，因此最终答案为 $S^k$ 的 $x^n{y}^m$ 系数。

$$\begin{array}{rl}S=& xy+x{y}^2+x{y}^3+...+\\ & x^{2}y+2x^2{y}^2+2x^2{y}^3+...+\\ & x^{3}y+2x^3{y}^2+3x^3{y}^3+...+\\ & ...\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}xS=& 0+0+0+...+\\ & x^{2}y+x^2{y}^2+x^2{y}^3+...+\\ & x^{3}y+2x^3{y}^2+2x^3{y}^3+...+\\ & ...\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}S-xS=& xy+x{y}^2+x{y}^3+...+\\ & 0+x^2{y}^2+x^2{y}^3+...+\\ & 0+0+x^3{y}^3+...+\\ & ...\end{array}$$

令 $f(1)=xy(1+y+y^2+...)$，$f(n)=xyf(n-1)$，则 $S-xS=\sum _{i=1}^{\infty }f(i)=f(1)(1+xy+x^2{y}^2+...)=xy(1+y+y^2+...)(1+xy+x^2{y}^2+...)$。令 $G(x)=1+x+x^2+x^3+...$，则 $S(1-x)=xy\ast G(y)\ast G(xy)$。

因为 $G(x)=x\ast G(x)+1$，即 $G(x)=\frac{1}{1-x}$，因此 $S=xy\ast G(x)\ast G(y)\ast G(xy)$，$S^k=x^k{y}^k{G}^k(x)G^k(y)G^k(xy)$，又因为 $G^k(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{C}_{k+i-1}^{k-1}{x}^i$（$k$ 个盒子 $i$ 个球，允许盒为空的方案数），因此我们可以枚举 $G^k(xy)$ 中 $x^i{y}^i$ 的贡献，即最终答案为 $res=\sum _{i=0}^{\min (n,m)-k}{C}_{k+(n-k-i)-1}^{k-1}{C}_{k+(m-k-i)-1}^{k-1}{C}_{k+i-1}^{k-1}$。

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总结

此题的难度很大，从母函数的构造一直到化简求解，始终具有很大的难度。目前此类母函数构造题还处于非常低的水平，还需要继续加强题目练习！

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代码

#include 
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
typedef long long ll;
const ll mod = 998244353;
const int N = 2e6+10;
using namespace std;

ll n,m,k,base[N],inv[N];

void init() {
     
	base[k-1] = 1;
	rep(i,k,max(n,m)) {
     
		base[i] = base[i-1] * (ll)i % mod * inv[i-k+1] % mod;
	}
}

void solve() {
     
	ll ans = 0;
	rep(i,0,min(n,m)-k) {
     
		ll t = base[k+i-1];
		t = t * base[m-i-1] % mod;
		t = t * base[n-i-1] % mod;
		ans = (ans + t) % mod; 
	}
	printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
     
	inv[1] = 1;
	rep(i,2,1e6+10) {
     
		inv[i] = (ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	}
	int _; scanf("%d",&_);
	while(_--) {
     
		scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
		init();
		solve();
	}
	return 0;
}