思维的体操——李白喝酒（2014年春蓝桥杯个人赛）

上周六去参加蓝桥杯，第一次参加比赛还真是有点小激动和小紧张，不过还好啦，虽然估计自己成绩可能不理想，但既然花了四个小时，就不能让自己毫无收获，心态上我更放得开了，我最擅长的是C，结果鬼使神差的报了java组，直到比赛头天晚上，才真正看了一会java，温习了一下。因为有点感触，大家别嫌我废话多，最近一直在用C++写程序，突然转变到java，还真有点不习惯，我就列举了一下我忘了的内容，也算是对java的一点温习吧，这在比赛中遇到真让人发笑。首先，java中连main函数都被封装到了public类中，你要在主函数中调用方法，这个方法必须是静态的，其次，在定义全局变量上，也必须是静态变量，其次，数组是要new出来的，不能直接像C++似的，这一点害得我好苦啊！最后，我发现java的取余操作和除法操作真的是天壤之别，此处先按下不表。

感慨了这么多，还是回到我们今天的主题吧——李白喝酒，这道题是第二道题，拦了我好久，最后也没做出来，但我就是个较真的人，今天我就来对这道题进行一番解析，总共花了我两天时间，我才真正意义上完全弄懂了这道题。先看题目：

“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗”，途中，遇见5次店，见了10此花，壶中原有2斗酒，最后刚好喝完酒，要求最后遇见的是花，求可能的情况有多少种？

刚拿到这题时，我想法比较直接，很显然这又是一个枚举法的应用，看过我上篇博客的童鞋应该知道，我最近很迷暴力枚举法，自然很熟悉，顺着这个思路，就是一一枚举了，我把遇到店看成0，遇到花看成1，这样就能得到一个不是0就是1的长度为15的序列，这样的序列总共有2的15次方即32768个，请注意这个数量级是完全可以接受的，然后再利用题目给出的条件逐一判断进行取舍，这是很自然的思路。可问题是，我竟然在接下来的2个小时里，不知道该如何一一枚举，比赛回来后，我想到首先可以利用15层循环，进行判断，估计只有疯子才会这么干，接下来，我想到的是递归，因为很显然这枚举的全部情况可以在空间中形成一支完全二叉树，我第一次引入图来说明，哈哈，如图所示：

应该很容易想到采用树的深度优先遍历来做，我花了两个小时写出这段代码，又花了一个多小时调试才OK。附上代码：（代码注释中可能有点胡言乱语）

#include 

using namespace std;

int counting = 0;
int A[15];
int sum = 2;

int  collectArray()
{
    int collect = 0;
    for(int i =0;i<15;++i)
    {
        if(A[i] == 0)
        collect++;
    }
    return collect;
}

void enumAll(int pos,int sonSum)
//直接采用枚举方法，A[]中每个元素不是0就是1
//若采用if判断则会产生15层嵌套
//因此采用树的深度优先遍历
//建议我使用栈来操作
//问题已经被发现，我TMD就是个天才，sum是个全局变量，在递归的时候，已经变不回来了！
{
    if(pos == 15)
    {
        if(sonSum == 0 && A[14] == 1 &&  collectArray() == 5)
        {
            counting++;
            for(int i =0;i<15;++i)
                cout << A[i] << "  ";
            cout << endl;
            return;
        }
    }else{
        //if(collectArray() <= 5)
            A[pos] = 0;
            sonSum  *= 2;
            enumAll(pos+1,sonSum);
            A[pos] = 1;
            sonSum = sonSum / 2;
            sonSum -= 1;
            enumAll(pos+1,sonSum);
            return;
        //}
        /*if(   <= 10)
        {
            A[pos] = 1;
            enuAll(pos+1);
            A[pos] = 0;
            enumAll(pos+1);
        }*/
    }
}

int main()
{
    for(int i =0;i<15;++i)
    {
        A[i] = -1;
    }
    enumAll(0,sum);
    cout << counting << endl;

    return 0;
}

这道题如果就到这里，就不是我的追求了，我在被此题卡住期间，在论坛上向大神们请教了这个问题，就如我所想的那样，天外有天，人外有人，大神们的答案都不加注释，这里，我则非常详尽的添加上了注释，仅供欣赏，代码如下：

#include 

using namespace std;

int main()
{
    int cnt=0;
    for (int i=0; i<1<<15; i++)//位运算，等价于i<2^15次方，别被吓到了，继续看
    {
        int k=2;   //壶中酒的量
        int n=0;   //记录遇到店的次数，对应于下面的小于5
        int x=i;  //这里的i是一个长度为15的二进制序列，这里是全部枚举
        int flag=1;  //标志变量，判断酒喝完没
        for (int j=1; j<=15; j++)
        {
            if (x&1)//这应该是本程序最难理解的地方了，为什么与1进行与运算，就能判断出遇到店的次数呢？
                k*=2;//其实很简单，因为x是一个长度为15的二进制序列的数，如果序列中的最低一位
                //是1的话，与1进行与运算的结果就是1，但是这个序列中有多少个1呢？这就是 x>>=1在起作用了，右移一位，这样
                //使得每次被判断的数位都被移走了，这样就可以很简单的进行判断和统计了，对不对！
            else
                k--;
            if (k==0&&x)    //酒喝完就停
            {
                flag=0;
                break;
            }
            n+=x&1;
            x>>=1;
        }
        if ( n !=5 || (i & (1<<14)) || !flag || k != 0)    //高实在是高，作者实在是心细，
        //这里不是直接给出判断cnt++的条件，而是否定，从反面用或的关系给出cnt++不能的条件
            continue;
        cnt++;
    }
    cout<

这道题带着如果结束的话，我还是不能满足，结果，一位大神给出了我眼中的终极完美答案，我只能一遍又一遍的感慨，无招胜有招啊！

每见一次花喝 1 斗，由于最开始有 2 斗，总共见了 10 次花，说明总共喝了 10 斗。所以因为遇见店而增加的酒为 8 斗。

所以问题转化为把 8 拆成 5 个 2 的幂，也就是考虑每次遇见店增加多少斗。有三种：

1 1 2 2 2
1 1 1 1 4

1  2 3 1 1

但是没有 2 直接出现 4 是不可能的，所以只有 1 1 2 2 2 是可行的。

所以问题转化为 1 1 2 2 2 这 5 个数有多少种排列方法，共 C(5,2) = 10 种加上C(4,1)为14种，第三种情况很容易忽视：加3斗的情况会在如下情境中触发：当前酒为2斗时候，遇店加至4斗，遇花喝掉一斗，此时有3斗，再遇店加3斗。所以这个组合中3必须紧挨着2，在2的后面，相当于"23"捆绑在一起。此种情况下有C(4,1) = 4种。

仅靠数学分析就得到了最终的答案，这才是编程的最高境界吧！

希望大家在看完我的文章后，能够发表一下观点和评论，教学相长，互相切磋啊！