游戏中的数学与物理（一）

（看了《游戏开发的数学与物理》，感觉很不错，记下点东西。 这是本“图灵程序丛书”，对于这个系列的书，我一直是蛮喜欢的，感觉书的内容、排版等，都让人看着很舒服。）

1.1让物体沿水平方向运动

     了解匀速直线运动（最简单的运动），若左边为x，速度为v，则：x+=v,v=-v。

      注意： 注意物体的中心点，不同的游戏引擎，可能设计的中心点不同，而中心点不同，边界也就不同。

1.2通过键盘控制物体的运动

     主要用到小学学的勾股定理，原理很简单，而且很实用。

      PS: 在模拟运动时，要控制个方向的速度。

1.3让物体沿任意方向运动

    注1：请将角的单位统一为弧度（主要关系到微积分的一些问题）。

    注2：在计算浮点数中，计算机不可避免的会有误差，绝对值越大误差也就越大。因此应该尽可能地使用绝对值小的数字进行计算。

1.4在物体运动中加入重力

y += vy;       //对位置加入速度
vy +=G;       //为速度加上加速度

    用此方法算的Vy与y分别是：

    计算机所使用的重力加速度单位是特殊的 dot/F^2 (像素/平方帧)

    但是对于真实的情况，我们用积分模拟

    这样就和前面代码所表示的存在一些误差，则代码应该改成：

v=vx*t;                   //x方向的位置
y=1/2*G*t*t+vy*t+y0;      //y方向的位置

1.5物体随机飞溅运动

    随机数、均匀随机数、正态分布 ——>火山喷发、烟花、摩擦迸出的火花。

    产生随机速度的部分：

Balls[i].vx = rand()*Screen_width/(float)RAND_MAX - Screen_width/2.0f;               //vx的初始值
Balls[i].vy = rand()*Screen_height/(float)RAND_MAX - Screen_height/2.0f - Base;      //vy的初始值

    生成了均匀随机数（所有数字的出现概率都相等的随机数），其中，Screen_width 和 screen_height 分辨是屏幕的宽和高。而vx与vy生成的初始值的范围分别为（-Screen_width/2.0 ~ Screen_width/2.0） 和 （-Base - Screen_height/2.0f ~ -Base+Screen_height/2.0）。

1.6让物体进行圆周角运动

x=R*cosf(fAngle)+(Screen_width-Char_width)/2.0f;
y=R*sinf(fAngle)+(Screen_Height-Char_height)/2.0f;
fAngle+=2.0f*PI/120.0f;       //一周的时间为2min

    所以物体施加一个指向某一点的角速度为ω的力，物体就会围绕该点做圆周运动。

    把t=0代入上面两式得初始时间与速度：

//使用向心力的圆周运动，决定初始位置及初始速度的部分
rx=R;
ry=0.0f;                            //(r,0)
vx=0.0f;
vy=R*AngleSpeed;            //(0,rw)

1.7[难]微分方程式及其数值解法

    常用：微分方程的数学值解法；  欧拉法

    但是球类等运动，需要更高精度，则有以下几种方法

• 使用精度更高的高阶近似求解微分方程，eg，Runge-Kutta methods 。(数学难)
• 使用线性多步法（Linear multistep method）计算，即不光使用前一次的值，还使用前两次或更多次的值进行计算， eg，Adams-Bashforth等。
• 在一帧内多次使用欧拉法计算，缩小∆t——重复使用欧拉法，比较常用。