广度优先搜索

首先，我将说说什么是图（它们不涉及X轴和Y轴），在我所知道的算法中，图算法应该是最有用的。再介绍第一种图算法——广度优先搜索（breadth-first search，BFS）。
　　广度优先搜索让你能够找出两样东西之间的最短距离，不过最短距离的含义有很多！使用广度优先搜索可以：

• 编写国际跳棋AI，计算最少走多少步就可获胜；
• 编写拼写检查器，计算最少编辑多少个地方就可将错拼的单词改成正确的单词，如将READED改为READER需要编辑一个地方；
• 根据你的人际关系网络找到关系最近的医生。

1 图简介

　　假设你居住在旧金山，要从双子峰前往金门大桥。你想乘公交车前往，并希望换乘最少。可乘坐的公交车如下。
　　为找出换乘最少的乘车路线，你将使用什么样的算法？
　　一步就能到达金门大桥吗？下面突出了所有一步就能到达的地方。
　　金门大桥未突出，因此一步无法到达那里。两步能吗？

　　金门大桥也未突出，因此两步也到不了。三步呢？

　　金门大桥突出了！因此从双子峰出发，可沿下面的路线三步到达金门大桥。
　　还有其他前往金门大桥的路线，但它们更远（需要四步）。这个算法发现，前往金门大桥的最短路径需要三步。这种问题被称为最短路径问题（shorterst-path problem）。你经常要找出最短路径，这可能是前往朋友家的最短路径，也可能是国际象棋中把对方将死的最少步数。解决最短路径问题的算法被称为广度优先搜索。要确定如何从双子峰前往金门大桥，需要两个步骤。
　　(1) 使用图来建立问题模型。
　　(2) 使用广度优先搜索解决问题。
　　下面介绍什么是图，然后再详细探讨广度优先搜索。

 2 图是什么

　　图模拟一组连接。例如，假设你与朋友玩牌，并要模拟谁欠谁钱，可像下面这样指出Alex欠Rama钱。
　　完整的欠钱图可能类似于下面这样。

　　指出谁欠谁钱的图：Alex欠Rama钱，Tom欠Adit钱，等等。

　　图由节点（node）和边（edge）组成。
　　就这么简单！图由节点和边组成。一个节点可能与众多节点直接相连，这些节点被称为邻居。在前面的欠钱图中，Rama是Alex的邻居。Adit不是Alex的邻居，因为他们不直接相连。但Adit既是Rama的邻居，又是Tom的邻居。
　　图用于模拟不同的东西是如何相连的。下面来看看广度优先搜索。

3 广度优先搜索

　　广度优先搜索是一种用于图的查找算法，可帮助回答两类问题。

　　第一类问题：从节点A出发，有前往节点B的路径吗？
　　第二类问题：从节点A出发，前往节点B的哪条路径最短？

　　前面计算从双子峰前往金门大桥的最短路径时，你使用过广度优先搜索。这个问题属于第二类问题：哪条路径最短？下面来详细地研究这个算法，你将使用它来回答第一类问题：有路径吗？

　　假设你经营着一个芒果农场，需要寻找芒果销售商，以便将芒果卖给他。在Facebook，你与芒果销售商有联系吗？为此，你可在朋友中查找。　　这种查找很简单。首先，创建一个朋友名单。

　　然后，依次检查名单中的每个人，看看他是否是芒果销售商。

　　假设你没有朋友是芒果销售商，那么你就必须在朋友的朋友中查找。
　　检查名单中的每个人时，你都将其朋友加入名单。

3.1 查找最短路径

　　再说一次，广度优先搜索可回答两类问题。
　　第一类问题：从节点A出发，有前往节点B的路径吗？（在你的人际关系网中，有芒果销售商吗？）
　　第二类问题：从节点A出发，前往节点B的哪条路径最短？（哪个芒果销售商与你的关系最近？）
　　刚才你看到了如何回答第一类问题，下面来尝试回答第二类问题——谁是关系最近的芒果销售商。例如，朋友是一度关系，朋友的朋友是二度关系。

　　在你看来，一度关系胜过二度关系，二度关系胜过三度关系，以此类推。因此，你应先在一度关系中搜索，确定其中没有芒果销售商后，才在二度关系中搜索。广度优先搜索就是这样做的！
　　在广度优先搜索的执行过程中，搜索范围从起点开始逐渐向外延伸，即先检查一度关系，再检查二度关系。顺便问一句：将先检查Claire还是Anuj呢？Claire是一度关系，而Anuj是二度关系，因此将先检查Claire，后检查Anuj。
　　你也可以这样看，一度关系在二度关系之前加入查找名单。
　　你按顺序依次检查名单中的每个人，看看他是否是芒果销售商。这将先在一度关系中查找，再在二度关系中查找，因此找到的是关系最近的芒果销售商。广度优先搜索不仅查找从A到B的路径，而且找到的是最短的路径。

　　注意，只有按添加顺序查找时，才能实现这样的目的。换句话说，如果Claire先于Anuj加入名单，就需要先检查Claire，再检查Anuj。如果Claire和Anuj都是芒果销售商，而你先检查Anuj再检查Claire，结果将如何呢？找到的芒果销售商并非是与你关系最近的，因为Anuj是你朋友的朋友，而Claire是你的朋友。因此，你需要按添加顺序进行检查。有一个可实现这种目的的数据结构，那就是队列（queue）。

 

3.2 队列

 

　　队列的工作原理与现实生活中的队列完全相同。假设你与朋友一起在公交车站排队，如果你排在他前面，你将先上车。队列的工作原理与此相同。队列类似于栈，你不能随机地访问队列中的元素。队列只支持两种操作：入队和出队。
　　如果你将两个元素加入队列，先加入的元素将在后加入的元素之前出队。因此，你可使用队列来表示查找名单！这样，先加入的人将先出队并先被检查。
　　队列是一种先进先出（First In First Out，FIFO）的数据结构，而栈是一种后进先出（Last In First Out，LIFO）的数据结构。

　　知道队列的工作原理后，我们来实现广度优先搜索！

4 实现图

　　首先，需要使用代码来实现图。图由多个节点组成。

　　每个节点都与邻近节点相连，如果表示类似于“你→Bob”这样的关系呢？好在你知道的一种结构让你能够表示这种关系，它就是散列表！
　　记住，散列表让你能够将键映射到值。在这里，你要将节点映射到其所有邻居。

　　表示这种映射关系的Python代码如下：
　　graph = {}
　　graph["you"] = ["alice", "bob", "claire"]
　　注意，“你”被映射到了一个数组，因此graph["you"]是一个数组，其中包含了“你”的所有邻居。
　　图不过是一系列的节点和边，因此在Python中，只需使用上述代码就可表示一个图。那像下面这样更大的图呢？
　　表示它的Python代码如下。

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graph = {} graph["you"] = ["alice", "bob", "claire"] graph["bob"] = ["anuj", "peggy"] graph["alice"] = ["peggy"] graph["claire"] = ["thom", "jonny"] graph["anuj"] = [] graph["peggy"] = [] graph["thom"] = [] graph["jonny"] = []

 　　顺便问一句：键—值对的添加顺序重要吗？换言之，如果你这样编写代码：

1 2	graph["claire"] = ["thom", "jonny"] graph["anuj"] = []

　　 而不是这样编写代码：

1 2	graph["anuj"] = [] graph["claire"] = ["thom", "jonny"]

 　　对结果有影响吗？只要回顾一下以前介绍的内容，你就知道没影响。散列表是无序的，因此添加键—值对的顺序无关紧要。

　　Anuj、Peggy、Thom和Jonny都没有邻居，这是因为虽然有指向他们的箭头，但没有从他们出发指向其他人的箭头。这被称为有向图（directed graph），其中的关系是单向的。因此，Anuj是Bob的邻居，但Bob不是Anuj的邻居。无向图（undirected graph）没有箭头，直接相连的节点互为邻居。例如，下面两个图是等价的。

6.5 实现算法

　　先概述一下这种算法的工作原理。 

　　首先，创建一个队列。在Python中，可使用函数deque来创建一个双端队列。

1 2 3

from collections import deque search_queue = deque()#创建一个队列 search_queue += graph["you"]#将你的邻居都加入到这个搜索队列中

 　　别忘了，graph["you"]是一个数组，其中包含你的所有邻居，如["alice", "bob", "claire"]。这些邻居都将加入到搜索队列中。
　　下面来看看其他的代码。

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while search_queue:#只要队列不为空，     person = search_queue.popleft()#就取出其中的第一个人     if person_is_seller(person):#检查这个人是否是芒果销售商         print person + " is a mango seller!"#是芒果销售商         return True     else:#不是芒果销售商。         search_queue += graph[person]#将这个人的朋友都加入搜索队列 return False #如果到达了这里，就说明队列中没人是芒果销售商

 

　　最后，你还需编写函数person_is_seller，判断一个人是不是芒果销售商，如下所示。

1 2	def person_is_seller(name):     return name[-1] == 'm'

 

　　这个函数检查人的姓名是否以m结尾：如果是，他就是芒果销售商。这种判断方法有点搞笑，但就这个示例而言是可行的。下面来看看广度优先搜索的执行过程。

　　这个算法将不断执行，直到满足以下条件之一：

• 找到一位芒果销售商；
•  队列变成空的，这意味着你的人际关系网中没有芒果销售商。

　　Peggy既是Alice的朋友又是Bob的朋友，因此她将被加入队列两次：一次是在添加Alice的朋友时，另一次是在添加Bob的朋友时。因此，搜索队列将包含两个Peggy。但你只需检查Peggy一次，看她是不是芒果销售商。如果你检查两次，就做了无用功。因此，检查完一个人后，应将其标记为已检查，且不再检查他。
　　如果不这样做，就可能会导致无限循环。假设你的人际关系网类似于下面这样。

　　一开始，搜索队列包含你的所有邻居。

　　现在你检查Peggy。她不是芒果销售商，因此你将其所有邻居都加入搜索队列。

　　接下来，你检查自己。你不是芒果销售商，因此你将你的所有邻居都加入搜索队列。　　以此类推。这将形成无限循环，因为搜索队列将在包含你和包含Peggy之间反复切换。
　　检查一个人之前，要确认之前没检查过他，这很重要。为此，你可使用一个列表来记录检查过的人。
　　考虑到这一点后，广度优先搜索的最终代码如下。

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def search(name):     search_queue = deque()     search_queue += graph[name]     searched = [] #这个数组用于记录检查过的人     while search_queue:         person = search_queue.popleft()         if not person in searched:#仅当这个人没检查过时才检查              if person_is_seller(person):                 print person + " is a mango seller!"                 return True             else:                 search_queue += graph[person]                 searched.append(person)#将这个人标记为检查过 return False search("you")

 

 运行时间
　　如果你在你的整个人际关系网中搜索芒果销售商，就意味着你将沿每条边前行（记住，边是从一个人到另一个人的箭头或连接），因此运行时间至少为O(边数)。你还使用了一个队列，其中包含要检查的每个人。将一个人添加到队列需要的时间是固定的，即为O(1)，因此对每个人都这样做需要的总时间为O(人数)。所以，广度优先搜索的运行时间为O(人数 + 边数)，这通常写作O(V + E)，其中V为顶点（vertice）数，E为边数。

 

6 小结 

• 广度优先搜索指出是否有从A到B的路径。
• 如果有，广度优先搜索将找出最短路径。
• 面临类似于寻找最短路径的问题时，可尝试使用图来建立模型，再使用广度优先搜索来解决问题。
• 有向图中的边为箭头，箭头的方向指定了关系的方向，例如，rama→adit表示rama欠adit钱。
• 无向图中的边不带箭头，其中的关系是双向的，例如，ross - rachel表示“ross与rachel约会，而rachel也与ross约会”。
• 队列是先进先出（FIFO）的。
• 栈是后进先出（LIFO）的。
• 你需要按加入顺序检查搜索列表中的人，否则找到的就不是最短路径，因此搜索列表必须是队列。
• 对于检查过的人，务必不要再去检查，否则可能导致无限循环。