2020算法设计与分析 官方考前模拟卷 参考答案

算法设计与分析 样例试题

• 算法设计与分析总结笔记

注：

• 此试题仅供了解题型，和期末考试试题没有任何直接关系
• FBI Warning：这套题难度较大，千万不要坏了心态，xj大佬说要是考试那么难他直播粪坑蝶泳

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Power By 王宏志教授

1. (5 分) 请叙述下述算法的功能并分析时间复杂度
   算法 Compute
   输入: 整数 n
   输出: 整数

x=0
for i=1 to n do
	for j=1 to i do
		for k=1 to i+j do
			x=x+1
return x

解：
$${\Sigma }_{i=n+1}^{2n}i$$
$$O(n^3)$$

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2. (5 分) 令 f, g 和 h 为定义在正整数上的正实数函数。假设f(n)=O(g(n))，
   g(n)=O(h(n))，证明 f(n)=O(h(n)).

$\because f(n)=O(g(n))$
$\exists n_0,c_0\in R,\forall n\ge n_0,0\le f(n)\le c_{0}g(n)$
同理$\exists n_1,c_1\in R,\forall n\ge n_1,0\le g(n)\le c_{1}h(n)$
则$\frac{1}{c_0}f(n)\le g(n)$且$g(n)\le c_{1}h(n)$
故$\frac{1}{c_0}f(n)\le c_{1}h(n)$, 即$f(n)\le c_0{c}_{1}h(n)$
$\therefore n^{\prime }=max(n_0,n_1),c=c_0{c}_1,\forall n\ge n^{\prime },0\le f(n)\le ch(n)$
即$f(n)=O(h(n))$

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3. (5 分) 求解递归方程 $T(n)=2T(n/2)+n^4$ 其中 k>0 是一个常数。

解：
${\log }_{b}a={\log }_{2}2$
$f(n)=n^4$
$\Theta (f(n))>\Theta ({\log }_{b}a)$
$T(n)=f(n)=n^4$

我不知道k拿来干嘛

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4. (15 分) 设计分治算法求解下述问题：
   输入：对于一个有 n 个元素的数组 A 和一个有 k 个位置集合 $S=p1,\dots ,pk，1\le p1<p2<\dots <pk\le n$输出：对于每个 $i\in 1,\dots ,k$，输出 A 中第 pi小的元组。例如，如果 k=1, S={i}对应元素中第 i 小的元素， k=2, S={1,n}对应找到数组中最小和最大的元素。
   设计时间复杂度为 O(nlogk)的分治算法求解此问题，要求写出伪代码并证明算法的时间复杂度。

不会。dbq乡亲父老，我真不会，我怎么想都是nlogn……
就讲讲nlogn的做法

解：

• 思路：存在$p_j$，则找到$a_{p_j}$，$[p_1,p_j]$只要在$[1,a_{p_j}]$中找即可；于是可以想到二分，但是A数组无序，所以我们可以模仿“快速排序”，将比某一个数（本方法取中位数）小的所有数分到一边，大的分另一边，然后迭代进行；
• 解法：某一时刻搜索$[ls,rs]$时需要保证搜索的A的$[la,ra]$区间内的所有数的大小位次，均在$[p_{ls},p_{rs}]$内

List<> func(A, la, ra, S, ls, rs):
	Get: sMid, aMid
	if S仅有一个: return {aMid}
	if A仅有一个: return {A仅有的那一个}
	用快速排序里的方法讲所有小于、大于aMid的数分到两侧（1个while套2个while）
	Get: func(A, la, aMid, S, ls, sMid), func(A, aMid+1, ra, S, sMid+1, rs)
	return 上述两部分并集

假设n与k同阶（这个假设我是从别人那学来的，先用，下面我会对此表示质疑）则复杂度：T(n)=2T(n/2)+O(m) --> O(nlogk)

上述复杂度分析引用自他人

• 异议：
  这里的复杂度分析假设n与k同阶是很奇怪的。
  直观做法：排序+匹配；排序复杂度nlogn，匹配是nk，二分优化变成nlogk。
  因此直观做法的复杂度也是nlogk，即nlogn
  那所谓“正确的分治做法”优势在哪？仅仅是题目要求嘛？
  姑且作为对分治的学习辅助吧

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5. (15 分) 要为将即将到来的哈尔滨世界博览会设计和生产 n 个不同的展品，
   每一个项目首先用 CAD 软件设计，然后送到外面加工厂加工，第 i 个展品的设计时间为 di，加工时间为 fi. 加工厂能力很强，可以同时加工 n 个展品，所以对于每件展品，只要设计结束就可以立刻开始加工。但是，只有一位设计师，所以需要确定产品设计的顺序，以最快时间完成所有 n 件展品的设计和加工。
   比如，完成了第一件展品的设计，可以将其交给加工厂，然后立刻开始第二件展品的加工。当完成第二件展品的设计时，可以将其交给加工厂而不需要考虑是否第一件展品已经加工完成。
   设计多项式贪心算法求解此问题，分析时间复杂度，并证明其正确性。

解：

• 显然，设计师的时间是一定的；并且，只要设计完成，一定能立刻加工；
• 所以，共用时间其实是$\max {\Sigma }_{j=1}^i{d}_j+f_j,1\le i\le n$，目标使该值最小
• 对于任意两个展品，设$d_a,d_b,f_a,f_b$，则当a比b先设计时，所用时间为$t_1=\max (d_a+f_a,d_a+d_b+f_b)=d_a+\max (f_a,d_b+f_b)$；反之所用时间为$t_2=d_b+\max (f_b,d_a+f_a)$
• 若$f_a<f_b$时$t_1=d_a+d_b+f_b,t_2=d_b+\max (f_b,d_a+f_a)$
  • 当$f_b>d_a+f_a$时，$t_1-t_2=d_a>0$，则$t_1>t_2$；
  • 当$f_b\le d_a+f_a$时，$t_2=d_b+d_a+f_a$，$t_1-t_2=f_b-f_a>0$，则$t_1>t_2$；
• 故应以$f_i$为关键字进行递减排序能获得最小时间，即加工时间长的“早死早超生”
• 时间复杂度$O(n\log n)$

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6. (15 分) 我们考虑将数轴上的 n 个点聚成 k 类的问题。输入： n 个从小到大的不同实数 x1, x2, …, xn表示 n 个不同点，一个参数 kn.
   任务：将 n 个点划分成 k 个不相交的非空集合 S1, …., Sk 满足⋃ =1 ={x1,x2, …, xn}， Si 中所有点在 Si+1 中所有点左边， 1i 目标：最小化∑ =1 (),其中 cost(Si)=(max(Si)-min(Si))2. max(Si)是 Si 中的最小元素， min(Si)是 Si中的最大元素。
   例如，如果 Si={xj}， cost(Si)=0，如果 Si={xj, xj+1, …, xj+t}, xj, 设计时间复杂度为 O(n2k)的动态规划算法，找到最优聚类。要求写出伪代码、递归方程并分析算法的时间复杂度。
   例如，考虑将 4 个元素的集合{1,5,8,10}聚为两个类，有三种可能:

   1. S1={1}, S2={5,8,10}，总代价是 02+52=25
   2. S1={1,5}, S2={8,10}，总代价是 42+22=20
   3. S1={1,5,8}, S2={10}，总代价是 72+02=49

   所以，算法的解是最优解 S1={1,5}, S2={8,10}。

解：

• 解法：$f(i,j)$为从第1到第i个元素分为j份的最小最大值
• 前提：因为若干元素被分为k-1份后，再分一份变成k份一定更优
• 状态转移方程：
  $$f[i,j]=\min (\max (f[t-1,j-1],w[t,i]))$$
  $$w[t,i]=(a[i]-a[t]{)}^2$$
  $$i\in [1,n],j\in [2,k]$$
• 伪代码

// 1. prepare f[i, 1]
// 2. calc
for (j = 2; j <= k; j++) {
     
	for (i = 1; i <= n; i++) {
     
		f[i, j] = MaxInt;
		for (t = i + 1; t <= n; t++) {
     
			w = (a[i] - a[t]) * (a[i] - a[t]);
			f[i, j] = min(f[i, j], max(f[t-1][j-1], w));
		}
	}
}
// 3. ans: f[n, k]

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7. (8 分) 假设我们希望不仅能使一个计数器增值，也能使之复位至零(即，使其中所有的位都为 0)。请说明如何将一个计数器实现为一个位数组，使得对一个初始为零的计数器，任一个包含 n 个 INCREMENT 和 RESET 操作的序列的时间都为 O(n)。

解：

• 用n个1代表n；
• 每个INCREMENT操作为在最左边增加一个1，复杂度为O(1)；
• 每个RESET操作为将所有1变为0，复杂度为O(m)，m为1的个数，即在两个RESET之间的INCREMENT个数；
• 因此，n个操作中所有RESET操作的总复杂度为O(m’)，m’=n个操作中INCREMENT的个数；
• 而n个操作中所有的INCREMENT操作的总复杂度也为O(m’)；
• 故两种操作的总复杂度为$O(2m^{\prime })=O(n),m^{\prime }\le n$；

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8. （12 分） 随着越来越多的计算机配备了双核 CPU， TinySoft 公司的首席技术官塞塔格利布决定更新他们著名的产品——SWODNIW。
   这个例程由 N 个模块组成，每个模块都应该在某个内核中运行。估计了在两个内核上执行所有例程的成本。我们把它们定义为 Ai 和 Bi。同时， M 对模块需要进行数据交换。如果它们在同一个内核上运行，则可以忽略此操作的成本。否则，就需要额外的费用。你应该明智地安排，把总费用降到最低。 请写出伪代码并分析算法复杂度。

这题对于成本的描述非常模糊，姑且认为是固定成本；M对模块姑且认为无重复（即不存在：[1, 2], [2, 3]）
不然太难了，多项式时间内，我不会做……

解：

• 对于每对模块i和j，代价有4种情况：
  • 都在内核A：$t=A_i+A_j$
  • 都在内核B：$t=B_i+B_j$
  • i在内核A，j在内核B：$t=A_i+B_j+w_{ij}$
  • i在内核B，j在内核A：$t=B_i+A_j+w_{ij}$
• 比较4种代价，选择最小的代价
• 对于无需数据交换的模块，取$A_i{B}_i$最小值即可

伪代码不用我写了吧

复杂度：$O(m+n)$

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9. (10 分)设计算法并分析时间复杂度：对于字符串 s，寻找这样的子串： 长度为 n， 且包含最多的碱基字符。返回其包含的碱基字符个数。注：碱基字符为（A、 G、 C、 T）

解：

• 可以类比为一个长度为n的窗口逐步划过整个字符串进行搜索，每一次平移变化只有少一个字符和多一个字符；
• 首先计算前n个字符的指定字符个数，然后一个一个平移，判断头尾是否为指定字符，适当把计数数字+1/-1，记录最大值和子串首字符指针。

伪代码不用我写了吧

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10. (10 分)利用 A* 搜索计算下图中 S 到 T 的最短路径，要求写出计算过程S

老师笔误，中间的1是10

解：

1. 扩展S
2. 扩展1
3. 扩展7
4. 扩展6

5. 扩展右边的8
6. 左边的8实际上不用扩展了，但是老师的教学里好像需要扩展……那就蛮扩展一下（此处存疑，需要求证）

7. 扩展中间的9
8. 扩展右边的9
9. 扩展2
10. 扩展左边的9
11. 扩展中间的11
12. 扩展3
13. 扩展4

14. 扩展右数第2个11
15. 扩展右数第1个11
16. 扩展左数第1个11
17. 扩展左数第2个11

18. 扩展左数第3个12，扩展到T，45为所有叶子节点最小，停止

个人觉得相同点只需要扩展到达该点路径最短的即可，但是mooc上的方法不是如此，保留意见