Python应用|TOPSIS综合评价法与案例分析

一、TOPSIS综合评价法

TOPSIS方法：Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution，根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序，适用于多项目标、对多个方案进行比较选择的分析方法。

1. 计算步骤

（1）构造初始矩阵A（n个评价指标，m个目标）

式中，aij表示第i个目标的第j项指标值(1≤i≤m, 1≤j≤n)。

#获取数据
data=pd.read_excel('研究生院评估数据.xlsx').values  #程序和数据在一个根目录下
A=data[:,1:]  #获取初始矩阵
A=np.array(A)  #转为数组
m,n=A.shape[0],A.shape[1] # m,n为行,列数

（2）由于各个指标的量纲可能不同，需要对原始数据进行标准化处理。（归一化处理）

#归一化处理
A1=np.ones([m,n],float)
for i in range(n):
	mu=np.power(np.sum(np.power(A[i],2)),0.5)
	A1[i]=A[i]/mu

式中：

针对不同类型的要求还有其他的归一化处理方法，见二。

（3）构造加权标准化矩阵Z

式中，wj是第j个指标的权重。

权重确定方法：Delphi法，对数最小二乘法，层次分析法等。

W=[w1,w2,w3,w4]
W=np.array(W)
Z=np.ones([m,n],float)
for i in range(len(W)):
        for j in range(len(W)):
            if i==j:
                W[i,j]=W0[j]
            else:
                W[i,j]=0

（4）根据加权矩阵判断正负理想解Z⁺ ,Z^-

式中，J*是效益性指标集（指标值越大越好）；J’是成本型指标集（指标值越小越好）。

Zmax=np.ones([1,n],float)
Zmin=np.ones([1,n],float)
for j in range(n):
	Zmax[0,j]=max(Z[:,j])
	Zmin[0,j]=min(Z[:,j])

（5）计算各个方案的到正理想点的距离Si⁺和负理想点的距离Si^-

for i in range(m):
	Smax=np.sqrt(np.sum(np.square(Z[i,:]-Zmax[0,:])))
	Smin=np.sqrt(np.sum(np.square(Z[i,:]-Zmin[0,:])))

（6）计算各个方案的相对贴近度Ci

C=Smin/(Smin+Smax)
C=pd.DataFrame(C,index=['院校' + i for i in list('12345')])

按每个方案的相对贴近度的大小进行排序，值越大越好，找出最优解。

二、数据归一化处理

(1) 效益型指标：指标值越大越好

#归一化处理
A1=np.ones([A.shape[0],A.shape[1]],float)
for i in n:
	if max(A[:,i])==min(A[:,i]):
		A[:,i]=1
	else:
		for j in m:
			A1[j,i]=(A[j,i]-min(A[:,i]))/(max(A[:,i])-min(A[:,i]))

(2) 成本型指标：指标值最小最好

#归一化处理
A1=np.ones([A.shape[0],A.shape[1]],float)
for i in n:
	if max(A[:,i])==min(A[:,i]):
		A[:,i]=1
	else:
		for j in m:
			A1[j,i]=(max(A[:,i])-A[i,j])/(max(A[:,i])-min(A[:,i]))

(3) 中间型指标：指标最优值在某一点取得，值越靠近该点越好

式中，M为取到最优值的点。

#归一化处理
A1=np.ones([A.shape[0],A.shape[1]],float)
for i in n:
	for j in m:
		A1[j,i]=M/(M+abs(A[j,i])-M))

(4) 区间型指标：指标最优值落在一个区间范围呢。
设指标取值在区间[a,b]是最优的，最差下限为lb,最差上限为ub.

#归一化处理
A1=np.ones([A.shape[0],A.shape[1]],float)
for i in n:
	for j in m:
		if lb <= A[j,i]<= a:
			A1[j,i]=(A[j,i]-lb)/(a-lb)
		elif a <= A[j,i]<= b:
			A1[j,i]=1		
		elif b <= A[j,i]<= ub:
			A1[j,i]=(ub-A[j,i])/(ub-b)
		else :  #A[j,i]< lb or A[j,i]>ub
			A1[j,i]=0			

三、案例分析

问题：某一教育评估机构对5个研究生院进行评估。该机构选取了4个评价指标：人均专著、生师比、科研经费、逾期毕业率。采集数据如表所示。

研究生院	人均专著/(本/人)	生师比	科研经费/(万/年)	人均专著/%
1	0.1	5	5000	4.7
2	0.2	6	6000	5.6
3	0.4	7	7000	6.7
4	0.9	10	10000	2.3
5	1.2	2	400	1.8

解释：人均专著和科研经费是效益性指标，预期毕业率是成本型指标，生师比是区间型指标，最优范围是[5,6]，最差下限2，最差上限12. 4个指标权重采用专家打分的结果，分别为0.2,0.3,0.4和0.1。

import numpy as np
import pandas as pd

#TOPSIS方法函数
def Topsis(A1):
    W0=[0.2,0.3,0.4,0.1] #权重矩阵
    W=np.ones([A1.shape[1],A1.shape[1]],float)
    for i in range(len(W)):
        for j in range(len(W)):
            if i==j:
                W[i,j]=W0[j]
            else:
                W[i,j]=0
    Z=np.ones([A1.shape[0],A1.shape[1]],float)
    Z=np.dot(A1,W) #加权矩阵
    
    #计算正、负理想解
    Zmax=np.ones([1,A1.shape[1]],float)
    Zmin=np.ones([1,A1.shape[1]],float)
    for j in range(A1.shape[1]):
        if j==3:
            Zmax[0,j]=min(Z[:,j])
            Zmin[0,j]=max(Z[:,j])
        else:
            Zmax[0,j]=max(Z[:,j])
            Zmin[0,j]=min(Z[:,j])

    #计算各个方案的相对贴近度C
    C=[]  
    for i in range(A1.shape[0]):
            Smax=np.sqrt(np.sum(np.square(Z[i,:]-Zmax[0,:])))
            Smin=np.sqrt(np.sum(np.square(Z[i,:]-Zmin[0,:])))
            C.append(Smin/(Smax+Smin))
    C=pd.DataFrame(C,index=['院校' + i for i in list('12345')])   
    return C

#标准化处理
def standard(A):
    #效益型指标
    A1=np.ones([A.shape[0],A.shape[1]],float)
    for i in range(A.shape[1]):
        if i==0 or i==2:
            if max(A[:,i])==min(A[:,i]):
                A1[:,i]=1
            else:
                for j in range(A.shape[0]):
                    A1[j,i]=(A[j,i]-min(A[:,i]))/(max(A[:,i])-min(A[:,i]))
    
    #成本型指标
        elif i==3:
            if max(A[:,i])==min(A[:,i]):
                A1[:,i]=1
            else:
                for j in range(A.shape[0]):
                    A1[j,i]=(max(A[:,i])-A[j,i])/(max(A[:,i])-min(A[:,i])) 

    #区间型指标
        else:
            a,b,lb,ub=5,6,2,12
            for j in range(A.shape[0]):
                if lb <= A[j,i] < a:
                    A1[j,i]=(A[j,i]-lb)/(a-lb)
                elif a <= A[j,i] < b:
                    A1[j,i]=1		
                elif b <= A[j,i] <= ub:
                    A1[j,i]=(ub-A[j,i])/(ub-b)
                else:  #A[i,:]< lb or A[i,:]>ub
                    A1[j,i]=0	
    return A1

#读取初始矩阵并计算
def data(file_path):
    data=pd.read_excel(file_path).values
    A=data[:,1:]
    A=np.array(A)
    #m,n=A.shape[0],A.shape[1] #m表示行数,n表示列数
    return A

#权重
A=data('研究生院评估数据.xlsx')
A1=standard(A)
C=Topsis(A1)
print(C)

输出：

>>>院校1  0.553038
院校2  0.610575
院校3  0.662306
院校4  0.659379
院校5  0.281729

参考文献：
[1] 许建强, 李俊玲. 数学建模及其应用. 上海交通大学出版社.