阵处理与波束形成学习心得（一）

第一章：Array Processing

你好！ 本文是我自己近期学习Statistical and Adaptive Signal Processing的一些总结与心得，在本文的阐述过程中，叙述思路以及原理讲解均有参考Statistical and Adaptive Signal Processing by Manolakis, Ingle , Kogon .etc 。如果在阅读过程中有不好理解的地方欢迎在评论区讨论或者直接查看上书。本文将会进行少量的波束形成的Matlab代码展示来帮助大家理解波束形成的原理及一些性质。

第一节：阵列的基本原理

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编辑于2019/07/29 Monday in Hangzhou

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在之前的学习中，我们知道在信号与系统中存在着各种形式的滤波器，而滤波器存在的意义就是某一个不符合我们最佳输出要求的信号进行时间域或者频域上的滤波处理，从而消除掉某些我们不想要得到的信号，如高通滤波器、低通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等等。那么对于空间中的信号来说，我们是如何在空间上滤除掉我们不期望出现在信号中的干扰的呢？
我们引入阵列的概念：阵列其实是传感器阵列的简称。我们利用传感器来对在空间中传播的信号进行处理，主要目的是为了获取我们所需要的期望信号，而滤除掉不需要的信号。例如，利用单一的传感器对着特定的某一方向，当传感器具备空间检测能力的时候，该传感器也就可以实现仅允许该方向来的信号通过，而过滤掉其它方向上的信号。我们首先来看一下在生活中应用比较广泛的常见单一传感器系统：具备通信或雷达功能的抛物面蝶形天线。
单一的传感器依赖于机械性的方向指示，所以在同一时间内它只能提取和跟踪一个方向上的信号，无法同时识别多个信号或者多个方向来的信号。因此引入传感器阵列。

传感器阵列信号的组合使得在特定方向上的信号被加重处理，且与单传感器不同，所加重信号的方向不取决与阵列的几何位置，而是由各传感器的加权值所决定的，从阵列的角度上来看，该决定因素称作加权矢量。（后文中常用c表示）

第二节：空间信号的常见参数
在对时间信号有了较为清晰的认识了之后，我们知道表示一个时间信号，需要知道一下几个参数：频率、幅度、相位即可（对于非谐振信号如果满足狄利克雷收敛条件可通过傅里叶级数对其进行展开）。那么对于在空间中传播的信号，我们想要表示它是通过一个空间坐标系实现的。既可采用笛卡尔坐标系也可采用球坐标系表示。
空间信号在空间中的传播由其传播方程决定，对于电磁波在空间中传播的形式，其传播方程可由麦克斯韦方程推导得到（Ishimaru 1990），对于声波，其解由声学基本定律决定。

关于变量的说明原文中的表述如下：

where A is the complex amplitude, Fc is the carrier frequency of the wave, and c is thespeed of propagation of the wave. The speed of propagation is determined by the type of wave (electromagnetic or acoustic) and the propagation medium. For the purposes of this discussion, we ignore the singularity at the source (origin); that is, s(t, r0) = ∞.

信号在空间中的传播位置由时间与空间的直接耦合决定，故定义波长： 波长为在一个时间周期内波的传播距离。通过式表示为 。在这里c为光速，而非前面定义的传感器阵列加权矢量。

在进行后续的分析过程中，我们在此做两个重要假设：（1）点源假设，所有的波都是从一个点发射出来的，即源的大小相比于传感器之间的间隔要小得多。 （2）远场假设、假设源位于远场，即实际过程中发射的球面波在传感器阵列出均可视作平面波。

为了在空间中对传播的波进行检测，现在我们假设在三维空间中放置一个线性阵列。该阵列具有这样的特点：位于直线上的有相同间隔的一系列阵元组成。也成均匀线性阵列（ULA,Uniform Linear Array），当我们将该阵列放置于X轴上，则可由源与传感器之间的距离来决定平面波到达相对时间延迟。

且在上图中，定义方位角phi_az与仰角theta_el。因此，对于各相邻传感器阵元而言，其针对平面波而言的传播距离差为