零神带我们过模拟面试

零神模拟面试总结

简介

最近甜姐群里大家都在面试，总结一些题目。包括群里讨论的面试题，以及零神下班前出的题目，

题目和题解

概率类

投硬币(概率/几何级数)

甲乙两人轮流投硬币，先投出正面的赢。如果甲先投硬币，那么甲获胜的概率是多少。

分析，可以按照轮来计算：

1. 第一轮，甲正面$1/2$，乙正面$1/2\cdot 1/2=1/4$，轮空$1/4$
2. 第二轮，首先需要轮空才能进入第二轮，甲正面$1/4\cdot 1/2$， 乙正面$1/4\cdot 1/2\cdot 1/2$，轮空$1/4\cdot 1/4$
3. …

那么甲获胜的概率为：
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}+{\frac{1}{4}}^2\cdot \frac{1}{2}+\cdots +{\frac{1}{4}}^{n-1}\cdot \frac{1}{2}$$
等比数列求和
$$S_n=\frac{a_0(1-q^n)}{1-q}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1/2\cdot (1-(1/4{)}^n)}{1-1/4}=\frac{2}{3}$$

取球(条件概率)

有三个箱子，第一个箱子里面两个红球，其二个里面两个黄球，第三个里面一红一黄。现在甜姐随机选择一个箱子，并且在箱子中随机摸出了一个球，发现这个球是红球。那么问这个箱子中另外一个球也是红球的概率是多少。

一个比较直观的思路是，当摸出红球的时候，有$1/3$的概率是从一红一黄的箱子里面摸出来的，有$2/3$的概率是从两个红球的箱子里面摸出来的，那么箱子中另外一个球也是红球的概率就是$2/3$。

定义

A: 取出两个球是红球
B: 取出的第一个球是红球

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{1/3}{3/6}=\frac{2}{3}$$

作业与吃糖(概率/数列知识)

盒子里面有一个红球一个黄球，每次我从盒子里面拿出一个球在放回去，如果是红球，那么吃一颗糖，然后继续玩下去，如果是黄球，那么去写作业，问期望能吃几颗糖

可以知道吃几颗糖时对应的概率。

1. 吃1颗糖，红黄，$1/2\cdot 1/2$
2. 吃2颗糖，红黄黄，$1/2\cdot 1/2\cdot 1/2$
3. …

那么对应期望公式为:
$$E(n)=\sum _{i=1}^{\infty }i\cdot \frac{1}{2^{i+1}}$$
这个期望求解用乘2相减的方法:
$$E(n)=1\cdot \frac{1}{2^2}+2\cdot \frac{1}{2^3}+\cdots +n\cdot \frac{1}{2^n-1}$$

$$2E(n)=1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2^2}+\cdots +n\cdot \frac{1}{2^n}+(n+1)\cdot \frac{1}{2^{n+1}}$$

$2E(n)-E(n)={\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^i}=1$

所以期望能吃到$1$颗糖

数学类

导数

问 $x^x$ 的导数是什么

转化一下
$$(x^x{)}^{\prime }=(e^{x\ln x}{)}^{\prime }=(1+\ln x)e^{x\ln x}=(1+\ln x)\cdot x^x$$

算法相关

逆序对算法选择

用归并排序计算逆序对，相较于树状数组而言，有啥优势（开放题 随意回答 写起来简单这种不算）

树状数组需要离散化，归并不用。

空间复杂度相关

归并的空间复杂度: $O(n)$ 最大需要$n$的辅助数组

快排的平均空间复杂度:$O(\log n)$ 原因是快排需要$\log N$ 的栈空间

堆排的空间复杂度: $O(1)$

时间复杂度

插入排序的平均时间复杂度: $O(n^2)$

如果插入排序过程中使用二分查找到插入的位置，插入排序的平均时间复杂度是多少$O(n^2)$ ，只要插入，就需要$O(n)$