导数的应用

1. 线性近似（linear approximations）

主要用途：它能简化函数，一个合理的近似常可以帮助解决问题

在工程学中，线性近似应用非常广泛，人们只需要关心输入改变量与输出改变量之间的线性关系

证明：

因为导数的定义为：

所以x0处的导数为：

用割线斜率近似切线斜率：

 

假设有一条曲线 y = f(x)，那么它在切点处近似于其切线

2. 二阶近似（quadratic approximation）

相比于线性近似，二阶近似更精确一点

二阶近似只有在线性近似精确度不够时才会用到

泰勒级数？

3. 曲线画图

曲线画图：利用一阶、二阶导数画图

步骤：

1. 标记点（标记不连续的点，无限远端的点，容易求出的点）

2. 求出导数为0的点（驻点）

3. 判断 f' 的正负

4. 判断 f'' 的正负

concave up -- 凸函数（开口向上，以天花板作为标志物来看凸凹），concave down -- 凹函数（开口向下）

极值点：turning point or extremum point，直译为转折点

驻点：critical point，当 f'(x0) = 0 时，我们称 x0 为驻点，f(x0)为驻点值，注意：驻点不一定是极值点，极值点一定是驻点

拐点：f'' 等于 0 的点，拐点两边凸凹函数发生改变

目前，基本上都是使用计算机作图，但无限远端问题，计算机暂时无法搞定，因为计算机屏幕不能无限大

例子

因此

（-1，-2）、（1，2）为驻点；x < 0 时，f'' > 0，为凸函数（开口向上）；x > 0 时， f'' < 0，为凹函数（开口向下）；（0，0）点为拐点，在该点凸凹函数发生变化

4. 最值问题

最大值、最小值，生理上可以很容易地从图像上找出来；数理上的步骤是，1. 求出驻点 2. 求出不连续点 3. 比较驻点和不连续点，得出最大值和最小值

举例，容积固定的情况下，使表面积最小：

因此，驻点、最小面积、y为：

更有意义的描述为：

即：底部正方形的宽是高的两倍时，表面积最小；表面积最小时，表面积与体积比为某个常数

5. 相关变率

Related rates: 通常在相关变率问题中，会使用隐函数微分法

6. 牛顿迭代法

Newton's method 是微积分中最伟大的应用之一，它可以求解任何方程的根。

下图为 y = x^2 - 5 函数使用牛顿法求根（根号5）的过程：

推导过程：

假设函数 f(x) 的根为 r，无法求出 r 的解析解，但可以通过牛顿法求出 r 的数值解

1. 假设 x0 为 r 的初始近似值

x0 点处的切线为：

切线与 x 轴的交点 x1 为：

此时称 x1 为 r 的一次近似值

2. 重复以上过程，可以求出 r 的 n+1 次近似值。一般情况下，3次近似值就已经很接近 r 了。

 

误差分析：error analysis

使用牛顿法时，需要满足的条件：

1. |f'| 不能太小（一阶导数的模不能太小），|f''| 不能太大（二阶导数的模不能太大）

2. x0 要选在 x 的附近

7. 中值定理

中值定理 mean value theorem: 中值就是平均值，平均变化率在最大变化率与最小变化率之间

其中，c 在定义域内是不确定的，只知道 a < c < b，也就是说不知道 c 究竟是哪一点，它比较笼统和简单

用处：中值定理可以证明 f‘ > 0 时函数递增等的结论

中值定理与线性近似的对比：

线性近似时，Δx 要趋于0，中值定理不用；中值定理是个平均的概念，线性近似是个极限的概念。