四元数的常见运算

假设四元数虚部在前，实部在后

1. 四元数与旋转变量

四元数和旋转向量有很直接的转换关系。绕单位轴$u$转了$\theta$角度，用四元数表达为:
$$\mathbf{q}=\left[\mathbf{u}\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\right]$$

2.四元数的共轭和逆

• 四元数的共轭就是让四元数的向量部分取负，记作：
  $$q\ast =\left[\begin{array}{llll}w& (-x& -y& -z\end{array}\right)]$$

• 四元数的逆定义为四元数的共轭除以它的模：
  $$q^{-1}=\frac{q\ast }{\Vert q\Vert }$$

2. 四元数的乘法

$$\begin{array}{rl}\mathbf{q}\otimes \mathbf{p}& =\left[\begin{array}{cc}{q}_4{\mathbf{I}}_3+v_q^{\wedge }& v_q\\ -v_q^T& q_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_p\\ p_4\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{p}_4{\mathbf{I}}_3-v_p^{\wedge }& v_p\\ -v_p^T& p_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_q\\ q_4\end{array}\right]\end{array}$$
注：上式分别代表了左乘和右乘

3. 四元数的求导

3.1 旋转矩阵的求导

$$\dot{\mathbf{R}}={\mathbf{\omega }}^{\wedge }\mathbf{R}$$
注：这里速度w是参考系下的角速度
$$\dot{\mathbf{R}}=\mathbf{R}{\left({}^B\omega \right)}^{\wedge }$$
注：这里速度是体坐标系的角速度

比较一下上述两式，可以发现一个很有趣的事实，角速度如果表达在参考坐标系下，负对称矩阵写在左边；如果表达在体坐标系下，负对称矩阵写在右边。这点微小的区别，读者在阅读文献时可以特别留意。

3.2 四元数的求导

$$\begin{array}{rl}\dot{\mathbf{q}}& =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{\omega }}^{\wedge }& \mathbf{\omega }\\ -{\mathbf{\omega }}^T& 0\end{array}\right]\mathbf{q}:=\frac{1}{2}\mathbf{\Omega }(\mathbf{\omega })\mathbf{q}\\ & =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}{q}_4{\mathbf{I}}_3-{\mathbf{v}}^{\wedge }\\ -{\mathbf{v}}^T\end{array}\right]\mathbf{\omega }\end{array}$$
注：四元数的求导公式和旋转矩阵的求导很像，且这里面的w也是在参考坐标系下的测量。若w是在体坐标系下的测量（如IMU的测量值），则公式变为：
$$\begin{array}{rl}\dot{\mathbf{q}}& =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{-\mathbf{\omega }}^{\wedge }& \mathbf{\omega }\\ -{\mathbf{\omega }}^T& 0\end{array}\right]\mathbf{q}:=\frac{1}{2}\mathbf{\Omega }(\mathbf{\omega })\mathbf{q}\\ & =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}{q}_4{\mathbf{I}}_3+{\mathbf{v}}^{\wedge }\\ -{\mathbf{v}}^T\end{array}\right]\mathbf{\omega }\end{array}$$

4. 四元数与旋转矩阵的转化

四元数乘法和其对应的两个旋转矩阵相乘物理意义是一样的，即：
$$\mathbf{R}(\mathbf{q}\otimes \mathbf{p})=\mathbf{R}(\mathbf{q})\mathbf{R}(\mathbf{p})$$
四元数对应的旋转矩阵为：
$$\mathbf{R}(\mathbf{q})=\left(2q_4^2-1\right){\mathbf{I}}_3+2q_4{\mathbf{v}}^{\wedge }+2\mathbf{v}{\mathbf{v}}^T$$