使用FCM聚类算法进行图像分割

使用FCM聚类算法进行图像分割

使用无监督算法进行图像分割，往往这类图像没有真实值，没办法用有监督的指标进行评价；这里介绍三种内部评价指标：Bezdek划分系数、Xie_Beni系数、重构错误率V_RE和PBM指标。

Bezdek划分系数

$V_{PC}$ 是Bezdek划分系数，它主要目的是重新刻画分割后的像素的隶属度，定义如下：
$$V_{PC}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^c\sum _{j=1}^n{u}_{ij}^2$$

即所有元素隶属于各个分类隶属度的平方和，对图像进行分割时，性能较优的聚类算法是使图像中
像素归属于某一类的隶属度尽可能地大，反之属于其他聚类的隶属度尽可能的小，即$V_{PC}$ 的值越大，表明聚类的效果越好。¹

Xie_Beni系数

$V_{XB}$是 Xie-Beni系数，其定义为：
$$V_{\mathrm{X}\mathrm{B}}=\frac{{\sum }_{i=1}^c{\sum }_{j=1}^n{u}_{ij}^2{\Vert x_j-v_i\Vert }^2}{n\left({\min }_{j\ne k}{\Vert v_j-v_k\Vert }^2\right)}$$

该系数反映了图像聚类内部的一种距离度量，在进行图像分割时，期望聚类内部的像素更加紧密，即 $V_{XB}$ 越小，则说明聚类的效果越好。

重构错误率V_RE

$V_{RE}$是图像的重构错误率，其定义如下：

$$V_{RE}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\Vert I^{\prime }(i)-I(i)\Vert }^2$$

它是分析分割后的重构图像与初始图像间的差距，$I^{\prime }(i)$为重构图像的第 $i$个像素的灰度值，定义为：
$$I^{\prime }(i)=\frac{{\sum }_{k=1}^c{u}_{ki}^{2}I(i)}{{\sum }_{k=1}^c{u}_{ki}^2}$$

对图像进行分割后，新的隶属度和聚类中心对图像进行重构，重构后的图像应与原图像尽可能的相似，即表明 $V_{RE}$的值越小，算法的分割效果越好。

PBM指标

PBM指标是一种聚类有效性指标，定义如下：
$$PBM={\left(\frac{1}{K}\times \frac{E_1}{E_K}\times D_K\right)}^2$$

$PBM$由三部分组成，分别是$1/K$ 、$E_1/E_k$ 和 $D_K$。第一项中$K$是提前给定的图像分割类别数，第二项中$E_1$对于一个给定的数据集，为一个常值。而$E_k$是待分类数据与个体中聚类中心的模糊距离之和，$PBM$值会随着$E_k$的减小而增大。第三项中 $D_K$是个体中的所有聚类中心对之间的最大距离。$PBM$指标达到最大值，取得最优划分。

代码²

function [Bezdek_V, Xie_Beni_V, V_RE, V_PBM] = Evaluation_index(I, U, V)

% Evaluation_index为聚类分割评价指数
% 输入: 原始待聚类数据I, 隶属度矩阵U, 聚类中心V 
% 输出: Bezdek划分系数, Xie_Beni系数, 重构错误率V_RE,V_PBM

%%
% 原始待聚类数据I,n代表样本数目,d代表每个样本的维数
[n,d] = size(I);

% 隶属度矩阵U,c代表聚类类别数目,n代表样本数目
[c,n] = size(U);

% 聚类中心V,c为聚类中心的数目,d代表每个样本的维数
[c,d] = size(V);

%% Bezdek划分系数
% 所有元素隶属于各个分类隶属度的平方和
Bezdek_V = sum(sum(U.^2)) / n ;

%% Xie_Beni系数、重构错误率V_RE
% Xie_Beni系数
Xie_Beni_V = 0;

% 初始化重构图像像素值
I_RE = zeros(n,d);

% XB指数分母项,最近类间距离
% 初始化最近的类间距离的平方为 前两个聚类中心的距离平方
% 欧氏距离：向量按元素求幂，再求和
min_V = sum((V(1,:)-V(2,:)).^2);

for i = 1:c
    for j = 1:c
        if(i-j ~= 0 && sum((V(i,:)-V(j,:)).^2) < min_V)
            % 排除自己和自己之间的距离0之后，遇到更小的类间距离 即 更新初始类间距离
            min_V = sum((V(i,:)-V(j,:)).^2);
        end
    end
end

%%
% 遍历样本
for i = 1:n
    
    % temp表示重构图像像素值的分子,temp1表示其分母
    temp = 0;
    temp1 = 0; 
    
    % 遍历类别
    for j = 1:c
        
        % XB指数的分子
        Xie_Beni_V = Xie_Beni_V + U(j,i)^2 * sum((I(i,:)- V(j,:)).^2);
        
        % 重构图像像素值的分子和分母
        temp = temp + U(j,i)^2*I(i,:);
        temp1 = temp1 + U(j,i)^2;
    end
    
    % 重构图像像素值
    I_RE(i,:) = temp / temp1;
end

% 最终的XB指数等于分子除以分母,n为样本数目,min_V为最小类间距离
Xie_Beni_V = Xie_Beni_V / (n * min_V);

% 重构错误率V_RE
V_RE = sum(sum((I_RE - I).^2)) / n;

%% PBM指标

% 计算最大类间距离
max_V = sqrt(sum((V(1,:)-V(2,:)).^2));

for i = 1:c
    for j = 1:c
        if(i-j ~= 0 && sqrt(sum((V(i,:)-V(j,:)).^2)) > max_V)
            % 排除自己和自己之间的距离0之后，遇到更大的类间距离 即 更新初始类间距离
            max_V = sqrt(sum((V(i,:)-V(j,:)).^2));
        end
    end
end

% 初始化Ek
Ek = 0;

for i = 1:n
    for j = 1:c
        Ek = Ek + U(j,i) * sqrt(sum((I(i,:)- V(j,:)).^2));  
    end 
end

% 初始化E1
E1 = 0;
for i = 1:n
    E1 = E1 + U(1,i) * sqrt(sum((I(i,:)- V(1,:)).^2));
end

% V_PBM
V_PBM = (E1 * max_V / (c * Ek))^2;

end

参考资料

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1. 王民, 李媛, 张立材. 基于纹理特征的盲道区域分割算法[J]. 信息通信, 2017(7). ↩︎

2. FCM算法中评价指数matlab程序. ↩︎