贝塔分布

$Beta$分布

众所周知，当一个随机变量$Y$的密度函数如下所示时，称这个变量$Y$满足$Beta(a,b)$分布：
$$f(y)=\frac{y^{a-1}(1-y{)}^{b-1}}{{\int }_0^1{y}^{a-1}(1-y{)}^{b-1}dy}=\frac{y^{a-1}(1-y{)}^{b-1}}{B(a,b)}$$
其中：$B(a,b)={\int }_0^1{y}^{a-1}(1-y{)}^{b-1}dy$是$Beta$函数。

然而，令人困惑不解的是，这个$Beta(a,b)$分布中的参数$a,b$到底是什么含义？而对于满足这个分布的变量$Y$，它又有着什么实际意义？接下来我所要阐明的就是这个问题，更好的理解所谓$Beta(a,b)$分布。

1.二项分布

首先，从随机变量$Y$的密度函数$\frac{y^{a-1}(1-y{)}^{b-1}}{{\int }_0^1{y}^{a-1}(1-y{)}^{b-1}dy}$我们可以看出，分母部分是分子部分的从0到1的积分，证明这个$Y$的取值范围是[0,1]，那么我们这时候会不会自然而然地想到，这个$Y$很有可能代表的就是一个概率呢？

从这个角度出发，是不是看着$y^{a-1}(1-y{)}^{b-1}$也觉得有点眼熟呢？没错，对于一个服从于二项分布$B(n,p)$的随机变量$\xi$，它的分布列为$P(\xi =k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$，这与服从于$Beta$分布的$Y$的密度函数$f(y)$中的$y^{a-1}(1-y{)}^{b-1}$有着异曲同工之妙！那么$Beta$分布与二项分布之间是否存在着什么联系？

2.贝叶斯

上面已经说过，对于一个服从于二项分布$B(n,p)$的随机变量$\xi$，它的分布列为$$P(\xi =k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$二项分布$B(n,p)$是独立重复$n$次伯努利实验，每次事件发生的概率都为$p$，所以$\xi$实质上是在已经确定参数$p$的条件下，事件发生的次数之和，所以分布列$P(\xi =k)$也可以记为：$$P(\xi =k|p)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$可以看出，这是一个条件概率。

熟悉贝叶斯思想与原理的朋友都知道，在贝叶斯公式中，后验概率可以由先验概率和条件概率一同得到：$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{{\sum }_{j=1}^{m}P(A|B_j)P(B_j)}$$在已经知道参数先验分布信息与样本信息的情况下，我们也可以应用贝叶斯公式得到参数的后验分布信息：$$\pi (\theta |x)=\frac{L(x|\theta )\pi (\theta )}{{\int }_{\Theta }L(x|\theta )\pi (\theta )d\theta }$$这里，$\theta$表示需要估计的未知参数，$x$表示样本信息，$\pi (\theta )$表示$\theta$的先验密度函数，$L(x|\theta )$表示$x$关于$\theta$的条件密度函数，$\Theta$表示参数$\theta$的取值空间。

在这里，我们可能会奇怪，为什么$x$关于$\theta$的条件密度函数要用$L(x|\theta )$表示，这是因为在我们使用极大似然法进行参数估计的时候，已知样本信息$x$，需要选择合适的参数$\theta$使发生样本所代表事件的概率最大，所以$L(x|\theta )$在这里是一个似然函数。

假设随机变量$X$服从二项分布$B(n,\theta )$，那么似然函数:
$$L(x|\theta )=P(X=x|\theta )=C_n^x{\theta }^x(1-\theta {)}^{n-x}$$如果我们对参数$\theta$一无所知，那么对$\theta$的先验分布$\pi (\theta )$可以做如下均匀分布的假设，假设
$\theta$~$U(0,1)$，这个假设也称为贝叶斯假设：$$\pi (\theta )=1(0<\theta <1)$$$$=0(else)$$由以上似然函数和参数的先验分布可以得出参数的后验分布：$$\pi (\theta |x)=\frac{L(x|\theta )\pi (\theta )}{{\int }_{\Theta }L(x|\theta )\pi (\theta )d\theta }$$$$=\frac{C_n^x{\theta }^x(1-\theta {)}^{n-x}}{{\int }_0^1{C}_n^x{\theta }^x(1-\theta {)}^{n-x}d\theta }$$$$=\frac{{\theta }^x(1-\theta {)}^{n-x}}{{\int }_0^1{\theta }^x(1-\theta {)}^{n-x}d\theta }$$$$=\frac{{\theta }^{(x+1)-1}(1-\theta {)}^{(n-x+1)-1}}{B(x+1,n-x+1)}$$
显然有：$\theta |x$ ~ $Beta(x+1,n-x+1)$
$$\pi (\theta |x)=\frac{{\theta }^{(x+1)-1}(1-\theta {)}^{(n-x+1)-1}}{B(x+1,n-x+1)}$$

再回到刚开始的服从于贝塔分布的随机变量$Y$进行比对:

                            ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~                            $Y$~$Beta(a,b)$
$$f(y)=\frac{y^{a-1}(1-y{)}^{b-1}}{{\int }_0^1{y}^{a-1}(1-y{)}^{b-1}dy}=\frac{y^{a-1}(1-y{)}^{b-1}}{B(a,b)}$$

我们可以看出，贝塔分布里的参数$a$就相当于参数估计中的$x+1$；贝塔分布里的参数$b$就相当于$n-x+1$。

3.参数意义

上面我们假设随机变量$X$服从二项分布$B(n,\theta )$，现在我们给这个二项分布赋予一个实际意义：假设今年武汉一共出生了$n$个婴儿，$\theta$为出生婴儿性别为女的概率，那么$X$就是武汉今年所出生女婴的总数，经统计，武汉今年一共出生了$x$个女婴。按照经典的统计思想，可以用频率估计概率，那么女婴出生的概率 $\hat{\theta }=\frac{x}{n}$。
但根据贝叶斯的观点，$\theta$存在着一个分布，密度函数是$\pi (\theta |x)=\frac{{\theta }^{(x+1)-1}(1-\theta {)}^{(n-x+1)-1}}{B(x+1,n-x+1)}$，我们可以看一下这个分布到底是怎样的。
分别取$n=100,x=45$ ($a=46,b=56$)，以及$n=100,x=65$ ($a=66，b=36$)，画出的密度函数如下图所示：

p=ggplot(data.frame(x=c(0,1)),aes(x=x))+
stat_function(fun=dbeta,args=list(shape1=46,shape2=56),
                geom="area",fill="blue",alpha=0.3,colour="blue")+
stat_function(fun=dbeta,args=list(shape1=66,shape2=36),
                geom="area",fill="red",alpha=0.3,colour="red")+
annotate("text",x=0.45,y=8.1,label="n=100,x=45")+
annotate("text",x=0.65,y=8.5,label="n=100,x=65")+
labs(x="theta",y="density")
p_remove_bg=p+theme_bw()          
p_remove_bg

正如我们所看到的，横坐标值所代表的是女婴出生率，纵坐标代表的是密度函数，红色和蓝色所代表的随机变量分别服从$Beta(46,56)$与$Beta(66,36)$，从分布上来看，红色所代表的女婴出生率要高于蓝色所代表的女婴出生率。至此，服从贝塔分布的随机变量的意义，以及贝塔分布中的参数的实际意义得到了一定的解释。

4.$Beta$分布

上面我们假设$n=100,x=45$很明显不符合实际，因为武汉每年出生的婴儿量是很大的，如果我们扩大样本量，那么参数$\theta$的后验分布会不会有所变化呢？我们将$n$调整为10000，$x$调整为4500，$(a=4501,b=5501)$：

很明显可以看出，扩大样本量时，参数估计的众数基本不变（即密度函数最大的点所对应的值），而方差缩小了很多，所以扩大样本量可以使估计更为精确。

5.共轭先验分布

回顾一下，随机变量$X$~$B(n,\theta )$ ， 参数的先验信息为：$\theta$~$U(0,1)$，给出样本信息$x$，那么参数的后验分布为 $\theta |x$~ $Beta(x+1,n-x+1)$。

当随机变量$Y$~$Beta(1,1)$时， $Beta$分布退化为均匀分布，$Y$~$U(0,1)$。

所以参数$\theta$的分布实质上是由先验的 $\theta$~$Beta(1,1)$ 变为后验的 $\theta |x$~$Beta(x+1,n-x+1)$。$\pi (\theta )$与$\pi (\theta |x)$属于同一分布族。我们称该$Beta$分布族为$\theta$的共轭先验分布族。

结论： 对于服从二项分布$B(n,\theta )$的随机变量$X$而言， 样本信息为$x$，假设$\theta$的先验分布满足 $\theta$~$Beta(a,b)$， 经过简单的推导可得， $\theta$的后验分布满足
$\theta |x$~ $Beta(x+a,n-x+b)$。