时间序列的总结
总结工作中用到的时间序列相关内容。
1、指数平滑的理论
指数平滑
R实践
# 基础包里的函数HoltWinters()
# 非季节性简单指数平滑 — models level（即上面简单指数平滑法）
fit <- HoltWinters(myts, beta=FALSE, gamma=FALSE)
# 非季节性性趋势模型 - models level and trend
fit <- HoltWinters(myts, gamma=FALSE)
# 季节性序列分解- models level, trend, and seasonal components
fit <- HoltWinters(myts)
gamma 对应季节性；belta代表趋势斜率；alpha代表平滑系数，当alpha越接近0，临近预测的观测值在预测中的权重就越小【注意，这里与excel不同】。
2、自回归模型（AR)：
X t = α 1 X t − 1 + α 2 X t − 2 + . . . + α p X t − p + u t X_t = \alpha_1X_{t-1} + \alpha_2X_{t-2} +...+ \alpha_pX_{t-p} + u_t Xt=α1Xt−1+α2Xt−2+...+αpXt−p+ut
当随机扰动项是一个白噪声（ u t = ε t u_t = \varepsilon_t ut=εt），则称为一个纯AR（p）过程，记为：
X t = α 1 X t − 1 + α 2 X t − 2 + . . . + α p X t − p + ε t X_t = \alpha_1X_{t-1} + \alpha_2X_{t-2} +...+ \alpha_pX_{t-p} + \varepsilon_t Xt=α1Xt−1+α2Xt−2+...+αpXt−p+εt
自回归模型首先需要确定一个阶数p，表示用几期的历史值来预测当前值。
自回归模型有很多的限制：
（1）自回归模型是用自身的数据进行预测
（2）时间序列数据必须具有平稳性
（3）自回归只适用于预测与自身前期相关的现象（时间序列的自相关性）
自相关系数PACF（p）
3、 滑动平均模型（MA)：
u t = ε t + β 1 ε t − 1 + . . . + β q ε t − q u_t = \varepsilon_t + \beta_1\varepsilon_{t-1}+...+\beta_q\varepsilon_{t-q} ut=εt+β1εt−1+...+βqεt−q，其中 ε t \varepsilon_t εt表示白噪声序列。
特别的，当 X t = u t X_t = u_t Xt=ut，即时间序列当前值与历史值没有关系，而只依赖于历史白噪声的线性组合，就得到MA模型：
X t = ε t + β 1 ε t − 1 + . . . + β q ε t − q X_t = \varepsilon_t + \beta_1\varepsilon_{t-1}+...+\beta_q\varepsilon_{t-q} Xt=εt+β1εt−1+...+βqεt−q
4、自相关滑动平均模型（ARMA）
将AR（P）与MA（q）结合，得到一个一般的自回归移动平均模型ARMA（p，q）：
X t = α 1 X t − 1 + α 2 X t − 2 + . . . + α p X t − p + ε t + β 1 ε t − 1 + . . . + β q ε t − q X_t = \alpha_1X_{t-1} + \alpha_2X_{t-2} +...+ \alpha_pX_{t-p} + \varepsilon_t + \beta_1\varepsilon_{t-1}+...+\beta_q\varepsilon_{t-q} Xt=α1Xt−1+α2Xt−2+...+αpXt−p+εt+β1εt−1+...+βqεt−q
5、 ARIMA模型
将自回归模型（AR)，滑动平均模型（MA），差分结合，就形成了ARIMA（p,d,q），其中p，d，q三个参数的确认，也是时间序列模型最难的部分。
6、 组合模型
时间序列趋势主要受到长期趋势（T）、季节变动（S）、周期波动（C）和不规则波动（I）四个因素影响，可构建
加法模型： x t = T t + S t + C t + ε t x_t = T_t+S_t+C_t+\varepsilon_t xt=Tt+St+Ct+εt
乘法模型： x t = T t ∗ S t ∗ C t ∗ ε t x_t = T_t*S_t*C_t*\varepsilon_t xt=Tt∗St∗Ct∗εt
7、示例
已知15年至18年逐月的交易额，且已知部分月份做过大型促销活动，现面临19年业务预算，请按照时间序列给出19年的逐月交易预估，作为预算建议。
GMV2<- read_excel("D:develop\\GMV_ts2.xlsx")
View(GMV2)
GMV2_ts=ts(GMV2[,2],start=c(2015,1),frequency = 12)
GMV2_ts=GMV2_ts[,1]
plot(stl(GMV2_ts,s.window='period'))
auto.arima(GMV2_ts)
GMV2_ts_ts=arima(GMV2_ts,order=c(0,0,0),seasonal=list(order=c(1,1,0),period=12))
GMV2_ts_ts
plot(GMV2_ts_ts$residuals)
abline(h=0)
qqnorm(GMV2_ts_ts$residuals)
qqline(GMV2_ts_ts$residuals)
GMV2_fo=forecast(GMV2_ts_ts,12)
plot(GMV2_fo)
判断通过R的auto.arima（）计算参数p，d，q
残差检验
模型的预测结果：
这里观测预测出来的序列波动，发现与已知业务波动趋势变化较大，因此需要重选参数p,d,q。
使用R自带的ADF检验来判断d，ACF（）、PACF（）来判断q和p。