概率导论（二）——离散随机变量

参考书：《概率导论》，作者：Dimitri P. Bertsekas，John N. Tsitsiklis。
本系列博客为自学《概率导论》笔记。

思维导图

基本概念

对于样本空间中的每一个试验结果，都关联着一个特定的数。这种试验结果与数的对应关系形成随机变量。
我们将试验结果所对应的数称为随机变量的取值。

从数学上讲，随机变量是试验结果的实值函数。

• 与随机变量相关的主要概念：
  在一个试验的概率模型之下：
  • 随机变量是试验结果的实值函数；
  • 随机变量的函数定义了另一个随机变量；
  • 对于一个随机变量，我们可以定义一些平均值，例如均值和方差；
  • 可以在某事件或某随机事件的条件之下定义一个随机变量；
  • 存在一个随机变量与某事件或某随机变量相互独立的概念。
• 若一个随机变量的值域（随机变量的取值范围）为一个有限集合或最多为可数无限集合，则称这个随机变量为离散的。
• 与离散随即变量相关的概念：
  在一个试验的概率模型之下：
  • 离散随机变量是试验结果的一个实值函数，但是它的取值范围只能是有限多个值或可数无限多个值；
  • 一个离散随机变量有一个分布列，它对于随机变量的每一个取值，给出一个概率；
  • 离散随机变量的函数也是一个离散随机变量，它的分布列可以从原来的随机变量的分布列得到。

分布列

• 离散随机变量的取值概率是随机变量的最重要的特征，我们用分布列表示这种特征，并且有$p_X$表示随机变量$X$的分布列。
• 设$x$是随机变量$X$的取值，则$X$取值为$x$的概率定义为事件$\{X=x\}$的概率，即所有与$x$对应的试验结果所组成的事件的概率，用$p_X(x)$表示，即$$p_X(x)=P(\{X=x\}).$$
• 为了不引起混淆，我们用$P(X=x)$表示事件$\{X=x\}$的概率。
• 我们用大写字母表示随机变量，用小写字母表示实数。
• 对于分布列，我们有$$\sum _x{p}_X(x)=1.$$其中求和是对随机变量$X$的一切可能的取值而来的。
• 对于不同的$x$，事件$\{X=x\}$是互不相容的，并且对所有的$x$，事件系列$\{X=x\}$形成了样本空间的一个分割。利用类似原理可以证明，对于任意一个$X$的可能值的集合$S$，下式成立：$$P(X\in S)=\sum _{x\in S}{p}_X(x).$$
• 随机变量$X$的分布列的计算：
  对每一个随机变量$X$的值$x$：
  • （1）找出与事件$\{X=x\}$相对应的所有试验结果；
  • （2）将相应的试验结果的概率相加得到$p_X(x).$

伯努利随机变量

• 考虑抛掷一枚硬币。设正面向上的概率为$p$，反面向上的概率为$1-p$.伯努利随机变量在试验结果为正面向上时取值为1，在试验结果为反面向上时取值为0，即$$X={\{}_{0,若反面向上}^{1,若正面向上}$$
• 伯努利（Bernoulli）随机变量的分布列为$$p_X(k)={\{}_{1-p,若k=0}^{p,若k=1}$$
• 在实际中，伯努利随机变量用于刻画具有两个试验结果的概率模型。

二项随机变量

• 将一枚硬币抛掷$n$次，每次抛掷，正面出现的概率为$p$，反面出现的概率为$1-p$，而且各次抛掷是相互独立的。令$X$为$n$次抛掷得到正面的次数。我们称$X$为二项随机变量，其参数为$n$和$p$.$X$的分布列是：$$p_X(k)=P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\cdots ,n.$$对于二项随机变量，利用归一化公理可以得到：$$\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}=1.$$

几何随机变量

• 在连续抛掷硬币的试验中，每次抛掷，正面出现的概率为$p$，反面出现的概率为$1-p$，而且各次抛掷是相互独立的。令$X$为连续抛掷一枚硬币，直到第一次（第$k$次）出现正面所需要抛掷的次数。$X$就称为几何随机变量。前$k-1$次抛掷的结果为反面向上，第$k$次抛掷的结果为正面向上的概率为$(1-p{)}^{k-1}p.$因此，$X$的分布列为：$$p_X(k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,\cdots .$$归一化为：$$\sum _{k=1}^{\infty }{p}_X(k)=\sum _{k=1}^{\infty }(1-p{)}^{k-1}p=p\sum _{k=0}^{\infty }(1-p{)}^k=p\frac{1}{1-(1-p)}=1.$$

泊松随机变量

• 设随机变量$X$分布列为$$p_X(k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!},k=0,1,2,\cdots .$$其中$\lambda$是刻画分布列的取正值的参数，则称$X$为泊松随机变量。
  归一化为：$$\sum _{k=0}^{\infty }{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}=e^{-\lambda }(1+\lambda +\frac{{\lambda }^2}{2!}+\cdots )=e^{-\lambda }{e}^{\lambda }=1.$$
• 泊松随机变量适合用于$n$很大，$p$很小的情况。类似于试验次数很多，但是正面向上的概率很小的情况。
• 当$\lambda \le 1$时，分布列单调递减；当$\lambda >1$时，分布列随着$k$的递增，先递增后递减。
• 泊松随机变量逼近二项随机变量：$$e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}\approx \frac{n!}{k!(n-k)!}{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\cdots ,n.$$其中$\lambda =np$，$n$很大，$p$很小。

随机变量的函数

• 设$X$是一个随机变量。对$X$施行不同的变换，可以得到其它的随机变量。
• 设$Y=g(X)$是随机变量$X$的函数，由于对每一个试验结果，也对应一个（$Y$的）数值，故$Y$本身也是一个随机变量。
• 如果$X$是离散的随机变量，其对应的分布列为$p_X(x)$，则$Y$也是离散随机变量，其分布列可通过$X$的分布列进行计算。实际上，对固定的$y$值，$p_Y(y)$的值可以通过下式计算：$$p_Y(y)=\sum _{\{x|g(x)=y\}}{p}_X(x).$$

期望、均值和方差

• 期望：
  设随机变量$X$的分布列为$p_X$.$X$的期望值（也称期望或均值）由下式给出：$$E[X]=\sum _{x}x{p}_X(x).$$

方差、矩和随机变量的函数的期望规则

• 随机变量$X^2$的均值(即$E[X^2]$)，称为随机变量$X$的二阶矩。
• $n$阶矩$E[X^n]$定义为$X^n$的期望值。均值本身刚好是一阶矩。
• 方差：
  记作$var(X)$：$$var(X)=E[(X-E[X]{)}^2]=\sum _x(x-E[X]{)}^2{p}_X(x).$$方差只能是非负值，提供了$X$在期望周围分散程度的一个测度。分散程度的另一个测度是标准差。
• 标准差：
  $${\sigma }_X=\sqrt{var(X)}.$$标准差具有实用性，因为它的量纲与$X$相同。
• 随机变量的函数的期望规则：
  设随机变量$X$的分布列为$p_X$，又设$g(X)$是$X$的一个函数，则$g(X)$的期望由下列公式得到$$E[g(X)]=\sum _{x}g(x)p_X(x).$$
• 计算$X$的$n$阶矩：
  $$E[X^n]=\sum _x{x}^n{p}_X(x).$$

均值和方差的性质

• 随机变量的线性函数的均值和方差：
  设$X$为随机变量，令$$Y=aX+b,$$其中，$a$和$b$为给定的常数，则$$E[Y]=aE[X]+b,var(Y)=a^{2}var(X).$$
• 用矩表达的方差公式：
  $$var(X)=E[X^2]-(E[X]{)}^2.$$
• 陷阱： 除非$g(X)$是一个线性函数，一般情况下，$E[g(X)]\ne g(E[X])$

某些常用的随机变量的均值和方差

• 伯努利随机变量的均值和方差：
  • 伯努利随机变量的分布列为：$$p_X(k)={\{}_{1-p,若k=0}^{p,若k=1}$$
  • 下面给出其均值、二阶矩、方差的计算公式：$$E[X]=1\cdot p+0\cdot (1-p)=p;$$ $$E[X^2]=1^2\cdot p+0^2\cdot (1-p)=p;$$ $$var(X)=E[X^2]-(E[X]{)}^2=p-p^2=p(1-p).$$
• 离散均匀随机变量的均值和方差：
  • 离散均匀随机变量的分布列为：$$p_X(k)={\{}_{0,其它}^{\frac{1}{b-a+1},若k=a,a+1,\cdots ,b}$$其中，$a,b$是两个整数，作为随机变量的值域的两个端点。其分布列相对于$\frac{a+b}{2}$是对称的。
  • 下面是其均值、方差的计算公式：$$E[X]=\frac{a+b}{2},$$ $$var(X)=\frac{(b-1)(b-a+2)}{12}$$
• 泊松随机变量的均值和方差：
  • 泊松随机变量的分布列为：$$p_X(k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!},k=0,1,2,\cdots .$$
  • 下面是其均值、方差的计算公式：$$E[X]=\lambda ,$$ $$var(X)=\lambda$$

利用期望值进行决策

• 如果把期望回报看成一个处理方案长期重复执行的平均回报，则选择具有最大期望的回报。

多个随机变量的联合分布列

• 设在同一个试验中，由两个随机变量$X$和$Y$，它们的取值概率可以用它们的联合分布列刻画，并且用$p_{X,Y}$表示。设$(x,y)$是$X$和$Y$的可能取值，$(x,y)$的概率质量定义为事件$\{X=x,Y=y\}$的概率：$$p_{X,Y}=P(X=x,Y=y).$$
• 利用联合分布列可以确定任何由随机变量$X$和$Y$所刻画的事件的概率，例如$A$是某些$(x,y)$所形成的集合，则$$P((X,Y)\in A)=\sum _{(x,y)\in A}{p}_{X,Y}(x,y).$$
• 利用$X$和$Y$的联合分布列计算$X$或$Y$的分布列：$$p_X(x)=\sum _y{p}_{X,Y}(x,y),p_Y(y)\sum _x{p}_{X,Y}(x,y).$$称$p_X(x)$或$p_Y(y)$为边缘分布列。

多个随机变量的函数

• 从二元函数$Z=g(X,Y)$可以确定一个新的随机变量。这个新的随机变量的分布列可以从联合分布列通过下式计算：$$p_Z(z)=\sum _{\{(x,y)|g(x,y)=z\}}{p}_{X,Y}(x,y).$$进一步地，关于随机变量的函数的期望规则可以推广成下列形式$$E[g(X,Y)]=\sum _x\sum _{y}g(x,y)p_{X,Y}(x,y).$$特别地，当$g$是形如$aX+bY+c$的线性函数的时候，我们有$$E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c,$$其中$a,b,c$均为给定的常数。

多于两个随机变量的情况

• 设有三个随机变量$X,Y,Z$，其联合分布列的定义是类似的，即：$$p_{X,Y,Z}(x,y,z)=P(X=x,Y=y,Z=z),$$其中$(x,y,z)$是$(X,Y,Z)$的所有可能的取值。相应地，可以得到边缘分布，$$p_{X,Y}(x,y)=\sum _z{p}_{X,Y,Z}(x,y,z),$$ $$p_X(x)=\sum _y\sum _z{p}_{X,Y,Z}(x,y,z).$$关于随机变量的函数的期望规则为$$E[g(X,Y,Z)]=\sum _x\sum _y\sum _{z}g(x,y,z)p_{X,Y,Z}(x,y,z),$$并且，如果$g$是形如$aX+bY+cZ+d$线性函数，则$$E[aX+bY+cZ+d]=aE[X]+bE[Y]+cE[Z]+d,$$进一步，推广到$n$个随机变量的情况：$$E[a_1{X}_1+a_2{X}_2+\cdots +a_n{X}_n]=a_{1}E[X_1]+a_{2}E[X_2]+\cdots +a_{n}E[X_n]$$

条件

某个事件发生的条件下的随机变量

• 在某个事件$A(P(A)>0)$发生的条件下，随机变量$X$的条件分布列由下式给定：$$p_{X|A}(x)=P(X=x|A)=\frac{P(\{X=x\}\cap A)}{P(A)}.$$
• 条件分布列的计算是，将满足$X=x$并且属于$A$的试验结果的概率相加，最后除以$P(A)$，便得到$p_{X|A}(x)$的值。

给定另一个随机变量的值的条件下的随机变量

• 设某一个试验中有两个随机变量$X$和$Y$。我们假定随机变量$Y$已经取定一个值$y(p_Y(y)>0)$，这个$y$值提供了关于$X$取值的部分信息。这些信息包含于$X$的给定$Y$的值的条件分布列$p_{X|Y}$中。所谓条件分布列就是$p_{X|A}$，其中事件A就是事件$\{Y=y\}$：$$p_{X|Y}(x|y)=P(X=x|Y=y).$$利用条件概率的定义，我们有$$p_{X|Y}(x|y)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}=\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_Y(y)}.$$

条件期望（全期望定理）

设$X$和$Y$为某一试验中的两个随机变量。

• 设$A$为某事件，$P(A)>0$，随机变量$X$在给定$A$发生的条件下的条件期望为$$E[X|A]=\sum _{x}x{p}_{X|A}(x).$$对于函数$g(X)$，我们有$$E[g(X)|A]=\sum _{x}g(x)p_{X|A}(x).$$
• 给定$Y=y$的条件下$X$的条件期望由下式定义$$E[X|Y=y]=\sum _{x}x{p}_{X|Y}(x|y).$$
• 设$A_1,\cdots ,A_n$是互不相容的事件并且形成样本空间的一个分割，假定$P(A_i)>0$对一切$i$成立，则$$E[X]=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)E[X|A_i].$$进一步假定事件$B$满足对一切$i$，$P(A_i\cap B)>0$，则$$E[X|B]=\sum _{i=1}^{n}P(A_i|B)E[X|A_i\cap B].$$
• 我们有$$E[X]=\sum _y{p}_Y(y)E[X|Y=y].$$

独立性

随机变量与事件的相互独立性

• 随机变量与事件的独立性 的概念与 两个事件的相互独立性 的概念是相同的。
• 基本思想是：刻画条件的事件的发生与否不会对随机变量取值提供新的信息。
• 随机变量$X独立于事件A$是指$$P(X=x且A)=P(X=x)P(A)=p_X(x)P(A)对一切x成立,$$这个条件等价于：对任何$x$，随机事件$\{X=x\}$与事件$A$相互独立。由条件分布列的定义，$$P(X=x且A)=p_{X|A}(x)P(A),$$所以，只要$P(A)>0$，随机变量$X$与事件$A$的独立性与下面的条件是等价的：$$p_{X|A}(x)=p_X(x)对一切x成立.$$

随机变量之间的相互独立性

• 随机变量之间的相互独立性 与 随机变量和随机事件的相互独立性 的概念是完全相同的。
• 随机变量$X$和$Y$称为相互独立的随机变量，若它们满足$$p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)p_Y(y)对一切x和y成立.$$这个条件等价于对任何$x$，随机事件$X=x$和$Y=y$相互独立。
• 最后，由公式$p_{X,Y}(x,y)=p_{X|Y}(x,y)p_Y(y)$可知随机变量$X$和$Y$的相互独立性的条件等价于$$p_{X|Y}(x|y)=p_X(x)对一切x和一切满足p_Y(y)>0的y成立.$$直观上，$Y$和$X$的独立性意味着$Y$的取值不会提供$X$的取值。
• 关于独立随机变量的性质的小结：
  设在某一试验中，$A$是一个事件，满足条件$P(A)>0$，又设$X$和$Y$是在同一个试验中的两个随机变量.
  • 称$X$为相对于事件$A$独立，如果满足$$p_{X|A}(x)=p_X(x)对一切x成立，$$即对一切$x$，事件$\{X=x\}$与$A$相互独立.
  • 称$X$和$Y$为相互独立的随机变量，如果对一切可能的数对$(x,y)$，事件$\{X=x\}$和$\{Y=y\}$相互独立，或等价地$$p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)p_Y(y)对一切x和y成立.$$
  • 若$X$和$Y$相互独立，则$$E[XY]=E[X]E[Y].$$进一步地，对于任意函数$g$和$h$，随机事件$g(X)$和$h(Y)$也是相互独立的，并且$$E[g(X)h(Y)]=E[g(X)]E[h(Y)].$$
  • 若$X$和$Y$相互独立，则$$var(X+Y)=var(X)+var(Y).$$

几个随机变量的相互独立性

• 我们称随机变量$X,Y,Z$是三个相互独立的随机变量，如果它们满足$$p_{X,Y,Z}(x,y,z)=p_X(x)p_Y(y)p_Z(z)对一切x,y,z成立.$$
• 设$X,Y,Z$是三个相互独立的随机变量，则任何形如$f(X),g(Y),h(Z)$的三个随机变量也是相互独立的。
• 任何两个随机变量$g(X,Y),h(Z)$也是相互独立的，但是形如$g(X,Y),h(Y,Z)$的两个随机变量通常不是相互独立的，因它们受公共的随机变量$Y$的影响。

若干个相互独立的随机变量的和的方差

• 设$X_1,\cdots ,X_n$为相互独立的随机变量序列，则$$var(X_1+\cdots +X_n)=var(X_1)+\cdots +var(X_n).$$