【Math】证明随机分布X1, X2, ..., Xn独立同分布的最大概率问题

题：设随机变量  独立同分布且具有相同的分布函数，证明：

                                        

证明：

在以下证明中假设f(x), F(x) 分别为  共同的概率密度和分布函数

步骤一：  大于  到  中的全部值也就是说对于任意一个  均小于 ，所以原式可以写成

                   即， 。

步骤二：由于所有的随机变量都服从相同的分布，如下图所示，当  在  这一点时，其他随机变量均可以取小于  的任意值 (即蓝线以下，横坐标轴以上，和红线以左的区域)。

                                      

所以对于每一个随机变量 ，  可以表示为：

                                                           

所以步骤一中的概率就可以表示为：

                                                         

步骤三：积分和简化上面的式子。由于f(x), F(x) 分别为  共同的概率密度和分布函数，所以

                                                                  

所以上式中括号内相当于n-1个  相乘，所以式子等于

                                                                 

步骤四：最后的积分。由于 , 上面的积分即可写成：

                                                    

步骤五：对于分布函数，从负无穷到正无穷的积分为零，所以上面函数就等于 .