多重背包问题(python实现)，动态规划

多重背包问题

感谢这些朋友们的文章，给了我很大启发：
https://blog.csdn.net/songyunli1111/article/details/94778914
https://blog.csdn.net/na_beginning/article/details/62884939
https://blog.csdn.net/qq_39445165/article/details/84334970

多重背包和01背包以及完全背包问题的区别在于：每个物品的数量是给定的，既不是01背包中的1个，也不是完全背包中的无穷多个。

其实这个和完全背包那个三重循环的解法很像，如果那个能理解，这个也不在话下了。
先上代码：

import numpy as np
def solution(max_weight,weight,value,num):

    dp = np.zeros((len(weight)+1,max_weight+1),dtype=int)

    for i in range(1,len(weight)+1):
        for j in range(1,max_weight+1):

            if weight[i-1] > j:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                count = min(num[i-1],j//weight[i-1])
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
                for k in range(1,count+1):
                    temp = dp[i-1][j-k * weight[i-1]] + k * value[i-1]
                    if temp > dp[i][j]:
                        dp[i][j] = temp

    print(dp)
    return dp

数据：
weight = [1,2,2]
value = [6,10,20]
num = [10,5,2]
背包容量：8

分析程序：还是先创建一个二维数组dp，由于是多重背包，所以对于一个物品i（假设i=3，是3号物品），有如下选择：

• 不拿，那么就用当前的可用空间去装3号物品之前的物品（也就是1、2号）。
• 拿，那么拿几件呢？在拿的时候要注意不能超过给定的数量，也不能使物品重量超过背包容量。

所以在代码中，如果j大于当前物品单个的重量，就要算出最多能拿多少个

count = min(num[i-1],j//weight[i-1])

用min是因为如果背包容量太大，能装下物品地数量就大于给定数量了，因此用num[i-1]来做上界。
紧接着 dp[i][j] = dp[i-1][j] ，是考虑到了不选当前物品比选更优的情况。接着

for k in range(1,count+1):
    temp = dp[i-1][j-k * weight[i-1]] + k * value[i-1]
    if temp > dp[i][j]:
        dp[i][j] = temp

对能拿的物品数量遍历，循环结束后会解出最优方案（是不拿，还是拿1个、2个…）

下面的代码能将选了什么物品输出：

def things(max_weight,dp,weight,value,num):
    raw = len(weight)
    col = max_weight
    remain = dp[raw][col]
    goods = [0,0,0]

    while remain != 0:

        if remain != dp[raw-1][col]:
            count = min(num[raw-1],col//weight[raw-1])
            for k in range(1,count+1):
                if dp[raw][col] - k * value[raw-1] == dp[raw-1][col-k * weight[raw-1]]:
                    remain -= k * value[raw-1]
                    col -= k * weight[raw-1]
                    goods[raw-1] = k
        raw -= 1

    print(goods)

分析程序：if remain != dp[raw-1][col]这句，是看看拿没拿当前物品，如果左右相等说明没拿。如果不等，再往下看：

count = min(num[raw-1],col//weight[raw-1]) 是把能装多少个物品求出来。

if dp[raw][col] - k * value[raw-1] == dp[raw-1][col-k * weight[raw-1]] 这行的意思是，现在的背包状态拿出k个当前物品，剩余的价值 是否等于 前面的物品和除去这k个物品所占的重量的价值。若相等，说明就是拿了k个当前物品。
输出：

[4, 0, 2]

第一个物品拿4个，第三个物品拿2个。