01背包问题及优化（动态规划 java实现）

问题描述：
现有一个容量为$V$的背包，以及$n$件物品，其分别占据的容量为$c_i$ ，其分别带来的价值为$w_i$，（$i=1,2,...,n$）
要求：这$n$件物品只能放入背包0次或1次（即，不放入或者放入）
问：背包的最大价值为多少？

使用动态规划进行求解：

子问题定义状态：

$dp[i][j]$表示 前$i$件物品，放入容量为$j$的背包中，可以获得的最大价值。

状态转移方程：

$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c_i]+w_i)$

其中 $dp[i-1][j]$ 表示：第$i$个物品不放入背包时的最大价值（即，将前 $i-1$ 个物品放入容量为$j$的背包中的最大价值）。

$dp[i-1][j-c_i]+w_i$ 表示：第$i$个物品放入背包时的最大价值（即，将前 $i-1$ 个物品放入容量为 $j-c_i$的背包中的最大价值 + $w_i$)。

最终需要的答案为$dp[n][V]$

代码如下：

public static int knapsackProblem(int v, int[] c, int[] w){
      int n = c.length;
      int[][] dp = new int[n+1][v+1];
      // 背包容量为0时，价值为0
      for(int i = 0; i <= n; i++)
         dp[i][0] = 0;
      // 背包里不放任何物品时，其价值也为0
      for(int j = 0; j <= v; j++)
         dp[0][j] = 0;
      // 计算剩余每个dp[i][j]
      for(int i = 1; i <= n; i++){
         for(int j = c[i-1]; j <= v; j++){ // c[i-1]是因为c是从0开始的，i-1表示的为第i个，w[i-1]同理
            dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-c[i-1]]+w[i-1]); 
         }
      }
      return dp[n][v];
}

优化方案：
上述解决方案使用的是一个二维数组$dp[][]$,每一行的值与其上一行数据相关，（即，前 $i$ 个物品产生的最大价值，与前 $i-1$ 个物品产生的最大值相关），我们完全可以只用一行数据，来表示每个不同容量带来的最大价值，（即使用$dp[j]$来表示背包容量为 $j$ 时带来的最大价值。）而省去表示前 $i$ 件物品的空间。通过不断更新dp[j]来得到最终的结果。

代码如下：

public static int knapsackProblemOptimized(int v, int[] c, int[] w){ 
      int n = c.length;
      int[] dp = new int[v+1];
      // 初始化dp，其表示前0个物品放入不同容量的背包，产生的最大价值均为0
      for(int i = 0; i <= v; i++)
         dp[i] = 0;
      // 更新dp值
      for(int i = 1; i <= n; i++)
         for(int j = v; j >= c[i-1]; j--) // （1）
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-c[i-1]]+w[i-1]); // (2)
      return dp[v];
} 

注意点：
在代码 (1) 处，其是一个从 $v$ -> $c[i-1]$ 的过程，原因在于：更新值时，依赖的总是 $i-1$ 时的数据。例如，如果现在循环中，$i=3$，此时 第二重循环还未开始，那 $dp[]$ 数组中的数据保存的是 ：$i=2$ 时，不同容量（从$0$ -> $v$）背包的最大价值。而当第二重循环开始后，$dp[]$ 中的值开始更新，从（2）中的代码可以看出，$dp[j]$ 依赖于 $dp[j]$ 和 $dp[j-c[i-1]]$ 处的值，而这两个值指的均是 $i=2$ 时的值，若 $j$ 值从 $c[i-1]$ -> $v$ 更新，$dp[j-c[i-1]]$ 必然会在 $dp[j]$ 之前被更新，那么当计算 $dp[j]$ 时， $dp[j-c[i-1]]$ 表示的是 $i=3$ 时的值，而非 $i=2$ ，这样的话，就会出现错误。因此 $j$ 不能从 $c[i-1]$ -> $v$ 更新，而应该从大到小更新。

实质上，使用一维数组来优化的过程，就是将二维数组按行拆分，每次更新保存一行数据，以此来降低存储开销。