单调队列专题

对于单调队列，我们这样子来定义：
1、维护区间最值
2、去除冗杂状态 如上题，区间中的两个元素a[i],a[j]（假设现在再求最大值） 若 j>i且a[j]>=a[i] ，a[j]比a[i]还大而且还在后面（目前a[j]留在队列肯定比a[i]有用，因为你是往后推， 认真想！ 重点）
3、保持队列单调，最大值是单调递减序列，最小值反之
4、最优选择在队首
大致过程：
1、维护队首（对于上题就是如果你已经是当前的m个之前那你就可以被删了,head++）
2、在队尾插入（每插入一个就要从队尾开始往前去除冗杂状态）
当然还有不少变形，不过大致就是这样，理解好遇到变通你也不会怕了。

为了让读者更明白一点，我举个简单的例子。
假设数列为：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6.N=10,k=3.
那么我们构造一个长度为3的单调递减队列：
首先，那8和它的位置0放入队列中，我们用（8，0）表示，每一步插入元素时队列中的元素如下：
0：插入8，队列为：（8，0）
1：插入7，队列为：（8，0），（7，1）
2：插入12，队列为：（12，2）
3：插入5，队列为：（12，2），（5，3）
4：插入16，队列为：（16，4）
5：插入9，队列为：（16，4），（9，5）
。。。。依此类推
那么f(i)就是第i步时队列当中的首元素：8，8，12，12，16，16，。。。
同理，最小值也可以用单调队列来做。
如果你看懂了，那你就会发现，单调队列的时间复杂度是O（N），因为每个数只会进队和出队一次，所以这个算法的效率还是很高的。
注意：建议直接用数组模拟单调队列，因为系统自带容器不方便而且不易调试，同时，每个数只会进去一次，所以，数组绝对不会爆，空间也是S（N），优于堆或线段树等数据结构。

单调队列的操作
编辑
举例
不妨用一个问题来说明单调队列的作用和操作：
不断地向缓存数组里读入元素，也不时地去掉最老的元素，不定期的询问当前缓存数组里的最小的元素。
最直接的方法：普通队列实现缓存数组。
进队出队都是O(1)，一次查询需要遍历当前队列的所有元素，故O(n)。
用堆实现缓存数组
堆顶始终是最小元素，故查询是O(1)。
而进队出队，都要调整堆，是O(log(n))。
RMQ的方法
RMQ即Range Maximum(Minimum) Query，用来求某个区间内的最大值或最小值。使用线段树或稀疏表是O(log(n))级的。对于这类问题这两种方法也搞得定，但是没有单调队列快。
单调队列的舞台
由于单调队列的队头每次一定最小值，故查询为O(1)。
进队出队稍微复杂点：
进队时，将进队的元素为e，从队尾往前扫描，直到找到一个不大于e的元素d，将e放在d之后，舍弃e之后的所有元素；如果没有找到这样一个d，则将e放在队头(此时队列里只有这一个元素)。出队时，将出队的元素为e，从队头向后扫描，直到找到一个元素f比e后进队，舍弃f之前所有的。(实际操作中，由于是按序逐个出队，所以每次只需要出队只需要比较队头)。每个元素最多进队一次，出队一次，摊排分析下来仍然是 O(1)。上面的话可能还是没能讲出单调队列的核心：队列并不实际存在的，实际存在的是具有单调性的子序列。对这个子序列按心中的队列进行操作，譬如在进队时丢弃的元素，虽然它不存在于这个子序列里，但是还是认为他存在于队列里。另外，进队的顺序和出队的顺序并不一定相同，因为这个队列本身是隐含存在的，可以在进队时看成一个队列，出队时看成另一个队列，只要出队的元素在队列中就行。可以想象成一个队列只有头和身，另一个队列只有身和尾，而这身是共用的。
在OI赛场上，大多数题目为单调队列力所不能及的，取而代之的是单调队列基础上改进的斜率优化，单调栈等，因为其限制条件，故潜力不大。但需要掌握，因为有许多算法建立在其基础上。
例如斜率优化即为f[i] = min/max{f[j] + g[i] * g[j]}，和单调队列尤为相似。
单调栈即为单调队列的“栈”版。
这两种复杂度也是O(n)的。