ST表——杨子曰数据结构

ST表——杨子曰数据结构

今天我们来曰一种O(1)查询的数据结构——ST表

它，就是RMQ问题的克星！

给你一个数列，对于询问[l,r]，输出区间[l,r]内的最大值（你喜欢最小值也可以啦！）

这……我用线段树O(log n)(搞一搞不久好了吗？

不好！！！我们是追求速度的人，由于它没有更新操作，我们可以做到O(1)查询

我们的ST表闪亮登场！！

（在下面的东西前你也可以先阅读一下：谈谈最近公共祖先（LCA）——杨子曰算法，有助于理解）

---

黑喂狗：

ST表最最重要的思想就是——倍增

我们开一个数组 $f[i][j]$表示区间$[i,i+2^j-1]$内的最大值，也就是从$a[i]$开始数$2^j$个数里面的最大值

Look at the 图，比如这就是$f[3][2]$表示的最大值区间:

好的，理解了这个数组的含义以后我们来看，怎么求出这个倍增数组？

扫一遍

初始值很简单$f[i][0]=a[i]$

那如何转移呢？

其实就一句话（和倍增求LCA一样）：

f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);

很好理解吧！

我们来举个例子，比如我们现在就是要求$f[3][2]$，我们可以从$f[3][1]$和$f[5][1]$转移过来，也就是要把我们要求的区间一剖为二：

完美，我们成功把预处理的复杂度做到了O(n log n):

for (int i=1;i<=n;i++){
	f[i][0]=a[i];
}
for (int j=1;j<=20;j++){//注意i和j的循环顺序
	for (int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
		f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
	} 
}

好的，我们现在已经得到了f数组，那我们如何利用它去求出区间最大值呢？

区间的长度不一定是2的整数次幂呀！肿么办！！！

太简单了，比如我们要查询区间$[2,7]$的最大值，我把它变成$max(f[2][2],f[4][2])$:

两段区间重叠在一起完全没有关系的呀！

也就是说，如果查询的区间是$[l,r]$，我们给出的答案就是：$$max(f[l][l+\lfloor lo{g}_2(r-l+1)\rfloor ],f[l-2^{\lfloor lo{g}_2(r-l+1)\rfloor }][\lfloor lo{g}_2(r-l+1)\rfloor ])$$

仔细地研究一下这个式子，它讲的其实就是找到一个小于区间长度(r-l+1)的最大2的整数次幂，作为我们重叠的两段小区间的长度，然后取靠着左端点的这段，和靠着右端点的这段去一个max就行了！

OK，完事

---

c++代码（洛谷【P3865】）：

#include
using namespace std;

const int maxn=100005;

int a[maxn],f[maxn][35],lg[maxn];

int main(){
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	lg[1]=0;
	for (int i=2;i<=n;i++) lg[i]=lg[i/2]+1;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		f[i][0]=a[i];
	}
	for (int j=1;j<=20;j++){
		for (int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
			f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
		} 
	}
	while(m--){
		int l,r;
		scanf("%d%d",&l,&r);
		int tmp=lg[r-l+1];
		printf("%d\n",max(f[l][tmp],f[r-(1<<tmp)+1][tmp]));
	}
	return 0;
}

ST表：哈哈哈，打不过我吧，没办法我就是这么强大！

线段树：你动态更新一个个我看看

ST表：……

于HG机房