【常用算法总结——中国剩余定理】

中国剩余定理，又称孙子定理（什么名字啊）是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。首先来一个小！例！题！吧！

注释：三数为a b c，余数分别为 m1 m2 m3，%为求  今年 余计算，&&是“且”运算。

1、分别找出能被两个数整除，而满足被第三个整除余一的最小的数。

k1%b==k1%c==0 && k1%a==1;

k2%a==k2%c==0 && k2%b==1;

k3%a==k3%b==0 && k3%c==1;

2、将三个未知数乘对应数字的余数再加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍即得结果。

Answer = k1×m1 + k2×m2 + k3×m3 - P×(a×b×c);

P为满足Answer > 0的最大整数；

或者 Answer = (k1×m1 + k2×m2 + k3×m3)%(a×b×c) ;

我们来小小的证明一波

　

　设M=m1*m2*......*mn

　　Mi=M/mi

　　设Mi的逆元为Mi^(-1)(mod mi)

　　有Mi*Mi^(-1)≡1(mod mi)

　　ai*Mi*Mi^(-1)≡ai(mod mi)

　　对于所有的j不等于i

　　ai*Mi*Mi^(-1)≡0(mod mj)

　　所以答案就是所有ai*Mi*Mi^(-1)（mod p）的值

P3868 [TJOI2009]猜数字

 1 #include
 2 using namespace std;
 3 long long x,y;
 4 long long a[15],b[15];
 5 long long n;
 6 void exgcd(long long A,long long B)
 7 {
 8     if(B==0)
 9     {
10         x=1;
11         y=0;
12         return;
13     }
14     exgcd(B,A%B);
15     long long z=x;
16     x=y;
17     y=z-(A/B)*y;
18 }
19 long long fast(long long a1,long long b1,long long mod)
20 {
21     long long ans=0;
22     a1%=mod;
23     b1%=mod;
24     while(b1)
25     {
26         if(b1&1)
27         {
28             ans=(ans+a1)%mod;
29         }
30         b1>>=1;
31         a1=(a1+a1)%mod;
32     }
33     return ans;
34 }
35 long long china()
36 {
37     long long ans=0;
38     long long M=1;
39     for(long long i=1;i<=n;i++)
40         M*=b[i];
41     for(long long i=1;i<=n;i++)
42     {
43         long long m=M/b[i];
44         exgcd(m,b[i]);
45         while(x<0)
46             x+=b[i]; 
47         x%=b[i];
48         ans=(ans+fast(x,fast(m,(a[i]+M)%M,M),M)+M)%M;
49     }
50     return ans;
51 }
52 int main()
53 {
54     cin>>n;
55     for(long long i=1;i<=n;i++)
56     {
57         scanf("%lld",&a[i]);
58     }
59     for(long long i=1;i<=n;i++)
60     {
61         scanf("%lld",&b[i]);
62     }
63     cout<<china();
64     return 0;
65 }