欧几里德 和 拓展欧几里德算法

一.欧几里德

欧几里德是用来求最大公约数的算法
其算法的中心思想为：

设a,b的最大公约数为c，则c一定也是a%b的最大公约数

证明方法很多，下面列出最简单的一个：
令 ：a = xc； b = yc ； a = bk + r

（1） 证明 c 为 r 的约数

$r = a - b*k = xc - ykc = c(x - ky) $
故 c 为 r 的一个约数，证毕

（2） 证明 c 为 b和r的最大公约数

因 $b=y\ast c$
$r=(x-ky)\ast c$
故问题转化为 ： 证明 y 和 (x - ky) 互质

我们可以使用反证法：
假设y 和 (x - ky)存在公因子 t
令 $y=pt$
$x-ky=qt$
则 $x = ky + qt = kpt + qt = (kp + q) * t $

则说明 t 也是 x,y的公因子
但是
由初始定义:
$a=x\ast c$
$b=y\ast c$
若x,y存在公因子t，则 c*t 才为 a,b的最大公因子，则与初始条件 c 为 a,b的最大公因子矛盾。
故假设不成立。
即 y 和 (x - ky) 互质
因为

b = yc
r = (x-ky)*c

故 c 为 b,r的最大公约数，证毕

设gcd(a,b)为a,b,的最大公约数，则
==> gcd(a,b) = gcd(b,r) = gcd(b,a%b)

代码：

int gcd(int a,int b){
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

二.拓展欧几里德

已知一个问题：

已知a,b,c均为整数 问对于ax + by = c来说是否存在整数解，如果存在则求出任意一组整数解

此问题我第一次是见于HDU的校赛，不过只是需要求解是否存在（原题大概是问一个三元一次方程ax + by + cz = d，在a,b,c,d确定的情况下存在多少组解）
此题正解是背包，而我是通过移项枚举z的值，然后快速判断二元一次方程是否存在解来判断方案数量。

但当时没学拓欧，就各种乱搞WA了8次，最后YY出了一个快速判断的公式，终于AC。
后来才知道，其实跟拓欧有着很大的联系。

回到开始的问题：

（一）对于判断是否有整数解，其实很简单，就判断一下：

c % gcd(a,b) == 0 是否成立
其实这是很容易想通的，令：
$r=gcd(a,b)$
则无论如果改变x,y的大小，对于ax + by 每次改变的值一定是r的倍数,因为
(a+b) ，(a-b)， a， b，a+2b，a - 2b…都是r的倍数

如果c 不是 r的倍数，则一定不存在整数解。

（二）至于某一组x,y的值：

则可以用拓展欧几里德来求解：
首先考虑特殊情况：
$a\ast 1+b\ast 0=gcd(a,b)=a$

则我们可以考虑从已知的特殊情况推导到未知情况

由欧几里德定理，我们知道：
$gcd(a,b)==gcd(b,a\%b)$

故我们可以考虑下面这种情况，将$a,b$分别用$b$和$(a\%b)$代替，得：

$$bx+(a\%b)y=gcd(a,b)\text{\hspace{1em}(1)}$$

这一定是一个满足有解条件的合法等式。
假设上式得$x,y$我们已经知道值是多少了，我们试着将该式转化为这种形式：
$a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }=gcd(a,b)$

若$x^{\prime },y^{\prime }$能够用x,y进行表示，那我们就达到了从已知情况推导到未知情况的目的。

借用一个显然的条件来化简：$a\%b=a-(a/b)\ast b$

代入(1)式化简得：
$$ay+b(x-(a/b)y)=gcd(a,b)\text{\hspace{1em}(2)}$$

故
$x^{\prime }=y$
$y^{\prime }=x-(a/b)\ast b$

所以为什么叫拓展欧几里德呢？因为该算法是脱胎于欧几里德算法。
我们要由已知情况推导到未知情况来解决问题
推导方法就是利用欧几里德算法用a,b的变化来带动x,y的变化。

代码1：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    int d = a;
    if(b != 0){
        d = exgcd(b,a%b,y,x);
        y -= (a/b)*x;
    }
    else{
        x = 1,y = 0;
    }
    return d;
}

代码2：（更易理解版）

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b == 0){   //已知的特殊情况
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b,a%b,x,y);  //通过变化a,b一直往下递归，直到达到已知的特殊情况，然后返回
    int t = x;                
    x = y,y = t - (a/b)*y;      //代入公式。
    return d;
}

（三）求最小整数解or解的间隔：

先上结论，解的间隔：
$dy=a/gcd(a,b)$ $dx=b/gcd(a,b)$
而$x$的最小整数解为:
$(x_0\%dx+dx)\%dx$ （考虑负模的情况）

证明详见：证明链接

int solve(int a,int b,int c){
    int x,y;
    int d = exgcd(a,b,x,y);
    if(c%d) return -1; //无解

	x*=c/d;            //解出的x满足 ax+by = gcd（a,b)
					   //而我们要的是 ax'+by' = c
					   //因c 是 gcd(a,b)的倍数，等式两端同时乘上c/gcd(a,b),x'即为所求。
    b/=d;b=abs(b);     //dx = b/d，考虑负模的情况。
    return (x%b+b)%b;  //返回最小正整数解
}

经典题

题目链接

求$（A/B）\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$
最直接的做法可以转化为：
$A\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(B\ast m)/B$

但当B，m均很大时B*m或许会溢出(当然会Java就不怕啦= =)，
或像该题不直接把A告诉你时，我们可以利用拓欧来解决该问题。
推导：

设 $（A/B）\%9973=x$
则 $（A/B）=9973\ast k+x(k为整数）$
所以 $A=9973\ast k\ast B+x\ast B$

因为 $A\%9973=n$
故 $（x\ast B）\%9973=n$

所以 $B\ast x=9973\ast k+n$
$B\ast x-9973k=n$
此时$ x，k$为未知数，且 $gcd(B,9973)==1$（题目条件）故一定有解
这样便转化成了 拓展欧几里德的水题

代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b == 0){
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b,a%b,x,y);
    int t = x;
    x = y,y = t - (a/b)*y;
    return d;
}

int solve(int a,int b,int c){
    int x,y;
    exgcd(a,b,x,y);
    return ((x*c)%b + b) % b;
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n,B;
        scanf("%d%d",&n,&B);
        int ans = solve(B,9973,n);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}