多源最短路算法——Floyd算法

1.多源最短路简介：

我们知道单源最短路是指从某一个源点到图中的其它顶点的最短路。
多源最短路就是指每一个点到图中其他顶点的最短路。
那么有的人肯定想我知道求单源最短路的算法了，那么有多少个点我就求多少次呗，这样做时间效率不高，空间效率也极其低。
那么有什么算法求解多源最短路呢？——Floyd

2.Floyd简介：

3.三维空间Floyd核心代码：

int g[N][N];  // 邻接矩阵存图
int dp[N][N][N];
void floyd(int n) {
    for (int k = 0; k <= n; ++k) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (k == 0) {
                    dp[k][i][j] = g[i][j];
                } else {
                    dp[k][i][j] = min(dp[k - 1][i][j], dp[k - 1][i][k] + dp[k - 1][k][j]);
                }
            }
        }
    }    
}

这样太浪费空间了把。

4.Floyd空间优化：

怎么确定状态转移的？
看下图

我们发现从顶点1到顶点4有三条路径
dp[0][1][4]就相当于图中的g[1][4]这里采用邻接矩阵的形式
然后k作为中介点可以使2，3
那么dp[2][1][4] = dp[2][1][2] + dp[2][2][4]
也就是我们可以简化为dp[1][4] = dp[1][2] + dp[2][4]
V1到V4等于V1到V2加上V2到V4，可以理解吧。
然后V1到V4还可以等于V1到V3加上V3到V4
即最后的最短路就是dp[1][4] = min(g[1][4], min(g[1][2] + g[2][4]
, g[1][3] + g[3][4]))

优化空间后的Code

int g[N][N];
void floyd(int n) {
    for (int k = 1; k <= n; ++k) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                g[i][j] = min(g[i][j], g[i][k] + g[k][j]);
            }
        }
    }    
}