质因数分解（算术基本定理）、最大公约数、最小公倍数

今天推荐：纯音乐——《Greensleeves》

基本概念

质数

质数（素数）定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。如2,3,5,7,11等等。

因数

如果a%b==0，则b是a的一个因数。

质因数

如果b是a的一个因数，同时b是一个质数，则b是a的一个质因数。

算术基本定理

算术基本定理，也称质因数分解定理：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积，注意，具备唯一性。如90=2*2*3*5。

算术基本定理的解法

1. 输入n，如n=90
2. 求出小于n的所有质数pures（从小到大排序）
3. k为pures最小值
4. 如果n==1，结束；如果n%k==0，则把k加入乘法等式，n=n/k，重复步骤4；否则k=pures中大于k的最小值。

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int n=90;
        int []pures= {2,3,5,7,11,13,17,23};
        int num=0;
        for(int k=0;k

总结

质因数分解可以用来求最大公约数和最小公倍数。

最大公约数

如果质数k能同时整除a和b，则k是最大公约数的质因数分解式的一部分

求两个数（a和b）的最大公约数：

1. 输入a和b，result=1；
2. 求出小于a和b的所有质数pures（从小到大排序）
3. k为pures最小值
4. 如果k>pures.length-1，结束；如果a%pures[k]==0且b%pures[k]==0，则把pures[k]加入乘法等式(result*=pures[k])，a=a/pures[k],b=b/pures[k]，重复步骤4；否则k++,重复步骤4。
5. 输出result

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int a=60,b=24;  //最大公约数12
        int []pures= {2,3,5,7,11,13,17,23};
        int result=1;
        for(int k=0;k

最小公倍数：

1. 先求a和b的最大公约数c
2. a=a/c;b=b/c
3. 最大公倍数=a*b*c

例子：6和8，最大公约数为2，最小公倍数24=(6/2)*(8/2)*2=3*4*2