扩展欧几里得算法

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理论基础

斐蜀定理(Bézout’s lemma)

定理描述

对任何整数$a$、$b$和$c$，关于未知数$x$和$y$的线性丢番图方程：$ax+by=c$当且仅当$gcd(a,b)|c$时有整数解。

证明

先证：
对于任意整数 $a,b$ ，存在一对整数 $x,y$ ，满足 $ax+by=gcd(a,b)$。
①在欧几里得算法(Euclidean algorithm)的最后一步，即 b=0 时，显然有一对整数 $x=1,y=0$，使得 $a\times 1+0\times 0=gcd(a,0)$；
②若 $b>0$ ，则$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$。假设存在一对整数 $x,y$ ，满足$b\times x+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)\times y=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$。
那么$bx+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)\cdot y=bx+(a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )\cdot y=ay+b\cdot (x-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y)$
令 $x\prime =y,y\prime =x-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y$，得到 $ax\prime +by\prime =\gcd (a,b)$。
由数学归纳法，命题成立。
证毕。
又证：
对于更为一般的方程 $ax+by=c$，当且仅当$\gcd (a,b)\mid c$，该方程有整数解。
由于证明过程复杂，以下给出简单的感性认识。
我们可以先求出 $ax+by=\gcd (a,b)$ 的一组特解 $x_0,y_0$，然后令$ x_0,y_0$ 同时乘上 $\frac{c}{\gcd (a,b)}$，就得到了$ax+by=c$ 的一组特解$\frac{c}{\gcd (a,b)}{x}_0,\frac{c}{\gcd (a,b)}{y}_0$。

算法模板

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)//x,y的值也需要返回，在此作为引用。
{
     
	if(!b)
	{
     
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	else
	{
     
		int gcd=ex_gcd(b,a%b,x,y);
		//向上递推
		int temp=x;
		x=y;
		y=temp-a/b*y;
		return gcd;
	}
}

算法应用

求解斐蜀等式

理论描述

当且仅当$gcd(a,b)|c时方程有解$。
扩展欧几里得算法能求出$ax+by=gcd(a,b)$的一组特解。当递归至$b=0$时，此时该方程有一组解$x=1,y=0$，此值按照规则$x\prime =y,y\prime =x-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y$ 向上层返回。
于是得到一组特解$x_0,y_0$使得$a{x}_0+b{y}_0=\gcd (a,b)$，等式两边同时乘上 $\frac{c}{\gcd (a,b)}$，就得到了$ax+by=c$ 的一组特解$\frac{c}{\gcd (a,b)}{x}_0,\frac{c}{\gcd (a,b)}{y}_0$。
下面给出斐蜀等式的通解：
$$x=\frac{c}{d}{x}_0+k\frac{b}{d},y=\frac{c}{d}{y}_0-k\frac{a}{d}(k\in Z,d=gcd(a,b))$$
$x$的最小正整数解为$(x_0\frac{c}{d}\text{mod}b+b)\text{mod}b$。

例题：洛谷CF7C Line

题目描述

A line on the plane is described by an equation $Ax+By+C=0$ . You are to find any point on this line, whose coordinates are integer numbers from$-5\cdot 10^{18}$ to $5\cdot 10^{18}$ inclusive, or to find out that such points do not exist.

输入格式

The first line contains three integers $A$ ,$B$ and$C$$(-2\cdot 10^9\le A,B,C\le 2\cdot 10^9)$ —corresponding coefficients of the line equation. It is guaranteed that $A^2+B^2>0$ .
If the required point exists, output its coordinates, otherwise output $-1$.

题意翻译

一条直线：Ax+By+C=0（AB不同时为0），找到任意一个点（在-5e18~5e18之间）让它的横纵坐标均为整数，或者确定没有这样的点。
输入：A，B，C
输出：该点坐标，没有就输出-1

输入输出样例

输入
2 5 3
输出
6 -3

题解

解一个斐蜀方程$ax+by=-c$，用扩展欧几里得算法的板子。

代码

#include
#define ll long long
using namespace std;
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
     
	if(!b)
	{
     
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	else
	{
     
		ll gcd=ex_gcd(b,a%b,x,y);
		//向上递推
		ll temp=x;
		x=y;
		y=temp-a/b*y;
		return gcd;
	}
}
void solve()
{
     
	ll a,b,c,x,y;
	cin>>a>>b>>c;
	c=-c;
	ll d=ex_gcd(a,b,x,y);
	//随便取了一组解
	x=x*c/d+b/d*3;
	y=y*c/d-a/d*3;
	if(c%d) cout<<-1;
	else cout<<x<<' '<<y;
}
int main()
{
     
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	solve();
	return 0;
}

求解线性同余方程

线性同余方程

给定整数 $a,b,n\in Z$，形如 $ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$的方程称为线性同余方程。我们需要求一个整数 $x$ 满足 $ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$，或者给出无解。

理论描述

$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$ 等价于 $ax-b$ 是 $n$ 的倍数，不妨设为 $-y$ 倍，即 $ax-b=-yn$。于是可以将线性同余方程改写为斐蜀等式的形式 $ax+ny=b$ 。由斐蜀定理，当且仅当 $gcd(a,n)|b$ 时方程有整数解。

例题：洛谷P1082 同余方程

题目描述
求关于 $x$ 的同余方程 $ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$ 的最小正整数解。
输入格式
一行，包含两个正整数 $a,b$，用一个空格隔开。
输出格式
一个正整数 $x_0$，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。
输入输出样例
输入
3 10
输出
7
说明/提示
【数据范围】
对于 40%的数据，$2\le b\le 1,000$；
对于 60%的数据，$2\le b\le 50,000,000$；
对于 100%的数据，$2\le a,b\le 2,000,000,000$。
NOIP 2012 提高组 第二天 第一题
题解
该题的线性同余方程若有解，则 $a,b$ 互质。
需要输出最小正整数解，求得的特解 $x_0$ 却往往不是最小整数解。
已知等式 $a(x_0+kb)+b(y_0-ka)=1$，等式两边同时对$b$取余，得到 $a{x}_0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=1$ 。故取最小整数解为$(x_0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b+b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$。
代码

#include
#define ll long long
using namespace std;
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
     
	if(!b)
	{
     
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	else 
	{
     
		ll gcd=ex_gcd(b,a%b,x,y);
		ll temp=x;
		x=y;
		y=temp-a/b*y;
		return gcd;
	}
}
void solve()
{
     
	ll a,b,c=1;
	cin>>a>>b;
	ll x,y;
	ex_gcd(a,b,x,y);
	x=(x%b+b)%b;
	cout<<x;
}
int main()
{
     
	solve();
	return 0;
}