LeetCode 62. 不同路径：

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

 

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28
 

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths 

思路：

自顶向下 起点(1, 1)->终点(m, n)：
       到达右下角的路径数dp[i][j] = 到达右下角左边一格的路径数dp[i][j - 1]  + 到达右下角上面一格的路径数dp[i - 1][j]
       起始点是（1，1），终点是（m，n），这样初始化可以跟题目坐标系对应，多余的dp数组位置也能处理掉循环的边界条件，不用增加额外的特判代码

注意：dp[0][1] = 1与dp[1][0] = 1二选一，主要是为了使起点位置(1,1) = (0,1) + (1,0)可能路径数为1 ，即：当网格为1*1时(只有起点时)可能的初始路径数只有1种

时间复杂度： O(m * n)

空间复杂度： O(m * n)

// 自顶向下 起点(0, 0)->终点(m, n)：
// 到达右下角的路径数 = 到达右下角上面一格的路径数 + 到达右下角左边一格的路径数
// 起始点是（1，1），终点是（m，n），这样初始化可以跟题目坐标系对应，多余的dp数组位置也能处理掉循环的边界条件，不用增加额外的特判代码
int uniquePaths(int m, int n) {
    vector> dp(m + 1, vector(n + 1));
    dp[0][1] = 1;
    // dp[1][0] = 1;    // 与上面一句二选一，主要是为了使起点位置(1,1) = (0,1) + (1,0)可能路径数为1 ，即：当网格为1*1时(只有起点时)可能的路径数只有1种
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j]; // dp方程
        }
    }
    return dp[m][n];
}




// 方法2(不推荐)：和上面方法差不多，最左边一列和最上边一行初始化为1
int uniquePaths(int m, int n) {
    vector> dp(m, vector(n));
    // 初始第一列为1
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        dp[i][0] = 1;
    }
    // 初始第一行为1
        for (int j = 0; j < n; j++)
    {
        dp[0][j] = 1;
    }
    // 初始值：最左边一列与最上边一行都为1，类似于"LeetCode70爬楼梯"问题中初始:n=1 return 1;n=2,return 2;
    for (int i = 1; i < m; i++)
    {
        for (int j = 1; j < n; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1];
}