Moore-Penrose广义逆：可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”

上一篇博文讲到：《方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现》，程序中用到的是mldivide或者A\b的方法（二者相同）来解方程。

但实际上运行过程中我们会遇到：当AX=b线性方程组是一个病态方程组；或者A是奇异矩阵（即det(A)=0，不可逆），没法求逆，用不了inv(A)方法只能用A\b，此时MATLAB会报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”…网络上很多人问这个问题怎么解决，其实不是MATLAB的问题，而是MATLAB内置算法的鲁棒性问题，直接用A\b方法无法处理这个棘手的问题。如果没有矩阵论或数值计算方法基础的同学可能会一头雾水。本文借用Moore-Penrose广义逆来解决这个问题，帮助大家理解带奇异矩阵的病态方程组如何解决。

首先我们先来看下mldivide, \在MATLAB中的含义：

也就是说，A\b的方法是可以求包含奇异矩阵的方程组的，但是可能会出错。而且错误可能非常离谱。（这个例子告诫我们，不要以为MATLAB算出来的结果都是准确的，MATLAB也不过是调用一些算法进行运算，每个算法都可能存在一些缺陷，无法处理某些极端的情况）。大家可以看一下它内置算法原理：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/mldivide_full_zh_CN.png

这里就涉及到数值计算方法领域矩阵的性态的问题了。我们可以直观来感受一下：

假设如下方程组：

其精确解是(1,1)。

若对左右边都做一些非常非常微小的变化：

其精确解变为：(10,-2)。

一个非常非常微小的扰动就让方程的解产生巨大的变动，我们称上述方程组是病态方程组，系数矩阵A是病态矩阵。

如果我们遇到不是方阵的矩阵，或者不能求逆的方阵，要想求解AX=b，避免奇异值导致MATLAB产生错误的情况，我们可以采用“伪逆”来帮助我们解决这个问题。

广义逆矩阵：

对任意一个矩阵A，提出四个条件：

如果存在矩阵G满足上述的一部分或全部条件，G就可以称为A的广义逆矩阵。最常用的四种广义逆矩阵定义如下：

MATLAB中自带的pinv方法，就可以求矩阵的M-P广义逆，即A+矩阵。官方文档：

https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/pinv.html?searchHighlight=pinv&s_tid=doc_srchtitle

大家可以查阅官方文档看具体应用实例。

如果我们求出A+，就可以有另一种思路来解AX=b了：

这里，通解的表达式还是类似于X=X*+X0的形式，A+b相当于是特解，后面那一项就是带系数的自由解，y可以取任意数，注意维度匹配即可。

所以，大家调用pinv求出M-P广义逆，然后用x=A+b + (I-A+A)y这个式子构造出通解就可以啦！