Moore-Penrose广义逆矩阵

起源

设 A 是 n×n 可逆方正， b 是任意一个 n 维向量，则方程组

Ax=b

总有解，且解 x 可表示为

x=A−1b.

现在设 A 是 m×n 可逆方正， b 是一个 m 维向量，是否存在 m×n 矩阵 G ，使得方程

Ax=b

总有解，且解 x 可表示为

x=Gb.

这样的矩阵 G 就涉及到广义逆的概念。
广义逆也叫伪逆，一般是指Moore-Penrose广义逆矩阵。

定义

设 A∈Cm×n ，如果 G∈Cn×m 满足

(1)AGA=A,(2)GAG=G,(3)(AG)H=AG,(4)(GA)H=GA,

则 G 为 A 的Moore-Penrose广义逆矩阵，简称M-P广义逆，记为 A+ 或者 A† .
注： AH 为 A 的转置共轭矩阵.

广义逆的满秩算法

1. 设 A 为列满秩矩阵，则 A+=(AHA)−1AH ;
2. 设 A 为行满秩矩阵，则 A+=AH(AAH)−1 ;
3. 设 A=LR ，其中 L 为列满秩矩阵， R 为行满秩矩. 则
   A+=R+L+=RH(RRH)−1(LHL)−1LH
   .