空间相关分析(一) 空间权重矩阵

        之前的博客分享了各行政区shp文件的制作方法，在拿到shp文件后就可以进行空间相关分析啦。今天来介绍一下相关理论的基础——空间权重矩阵的创建。

定义介绍

        根据地理学第一定律"任何事物都是紧密相连的，只不过越相邻的事物连接更紧密"。而空间权重矩阵即可描述事物间的关联程度。根据类型，可分为邻接矩阵和距离矩阵。

• 邻接矩阵
          根据空间相邻关系，相邻既可以是有共同边界又可以是有共同顶点。因此，可分为三种类型：Bishop邻接、Rock邻接、Queen邻接，分别如图(a)，(b)，©所示
  
  图a中A与所有的B都是共顶点连接
  图b中A与所有的B都是共领边连接
  图c中A与所有的B既是共顶点连接又是共领边连接
  不难看出，Queen邻接是Bishop邻接和Rock邻接的结合。一般实际操作过程中，多数都是选Queen连接。根据连接方式，我们即可构建如下空间权重矩阵$W$来反映区县间的邻接关系：
  $$W=\left[\begin{array}{cccc}{w}_{11}& w_{12}& \dots & w_{1n}\\ w_{21}& w_{22}& \dots & w_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ w_{n1}& w_{n2}& \dots & w_{nn}\end{array}\right]$$
  其中，$$w_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& \text{区县i与区县j相邻时}\\ 0,& \text{区县i与区县j不相邻时}\end{array}$$
  特别说明：当$i=j$ 时，记$w_{ij}=0$
  不难看出，矩阵W是个对称阵，即$W^T=W$

• 距离矩阵
          空间单元间除了相邻关系，还有可用距离进行描述。在空间计量经济学中，可分为狭义距离和广义距离。狭义距离通常指两个区域的质心距离或者行政中心距离，构建方式如下：
  $$W=\left[\begin{array}{cccc}0& \frac{1}{d_{1,2}}& \dots & \frac{1}{d_{1,n}}\\ \frac{1}{d_{2,1}}& 0& \dots & \frac{1}{d_{2,n}}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ \frac{1}{d_{n,1}}& \frac{1}{d_{n,2}}& \dots & 0\end{array}\right]$$
  其中，$d_{ij}$表示区域$i$与区域$j$之间质心距离(或者行政中心距离)。故距离越远，空间权重系数越小，空间相关性越差。
  
          广义距离则包括多种形式的虚拟距离，比如：经济距离。例如：在研究区域经济聚集现象时，很多情况下地理位置相邻并不能代表相关性相同。例如：浙江省、江苏省、安徽省三者相领接，但浙江省和江苏省的经济实力明显要高于安徽省，则我们可认为浙江与江苏经济距离更近，而安徽与浙江、江苏的经济距离较远，故前者的空间权重系数要较后者大，空间相关性更强。构建方式如下：
  $$W=\left[\begin{array}{cccc}0& \frac{1}{|Y_1-Y_2|}& \dots & \frac{1}{|Y_1-Y_n|}\\ \frac{1}{|Y_2-Y_1|}& 0& \dots & \frac{1}{|Y_2-Y_n|}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ \frac{1}{|Y_n-Y_1|}& \frac{1}{|Y_n-Y_2|}& \dots & 0\end{array}\right]$$
          其中，$Y_i$和$Y_j$代表各区域的经济发展水平，则$|Y_i-Y_j|$则代表两者的经济距离。（一般文献里面用的比较多的是人均GDP来衡量地区发展水平，如果更深入地讨论的话可以使用主成分分析、层次分析、熵值法等方法构建综合经济指标体系）

Geoda创建空间权重矩阵

        理论说完了，开始实际操作吧。Geoda创建空间权重矩阵还是比较简单的，这里使用的是Geoda1.14中文版本，以重庆市为例：
工具——空间权重管理——创建——选择ID变量
！注意，这里的ID变量必须是一个ID对应一个区县

根据需要选择对应的连接方式即可。邻接型生成的是gal文件，距离型生成的是gwt文件。这里以Queen连接生成的gal数据格式说明：

第一行38代表重庆市区县总个数，500229是区县对应的ID，它有两个相邻区县，分别是500238和500234；以此类推，500238有5个相邻的区县分别为500229，500234，500237，500235，500236。以地图的方式显示如下：

当然，gal这种数据格式定义的权重矩阵并不是前面定义所提到的$n\ast n$形式的矩阵。我们可以用R进行转化，转化代码如下：

gal2mat <- function(gal, row.st = TRUE) {
     
  gal <- scan(gal, skip = 1)
  neighbors <- list()
  while(TRUE) {
     
    nb <- gal[2]
    if(nb != 0) {
     
      neighbors[[as.character(gal[1])]] <- as.character(gal[3:(2+nb)])
    } else {
     
      warning(paste("Unit", gal[1], "has no neighbor."))
      neighbors[[as.character(gal[1])]] <- 0
    }
    gal <- gal[-(1:(2+nb))]
    if(length(gal) == 0) break
  }
  n <- length(neighbors)
  swm <- matrix(0, n, n)
  dnames <- names(neighbors)
  dimnames(swm) <- list(dnames, dnames)
  for(i in dnames) {
     
    swm[i, neighbors[[i]]] <- 1
  }
  if(row.st) {
     
    swm <- apply(swm, 1, function(x) {
     
      if(sum(x) != 0) return(x/sum(x)) else {
     
        warning("The sum of row is 0.")
        return(x)
      }
    })
    swm <- t(swm)
  }
  return(swm)
}
library(spdep)
mynb <- read.gal("Export_Output.gal",override.id=TRUE)
spmat1 <- nb2mat(mynb, zero.policy=TRUE)
spmat2 <- gal2mat("Export_Output.gal",row.st=FALSE)
write.csv(spmat2, "spmat.csv")

Arcgis创建空间权重矩阵

Arcgis创建空间权重矩阵时，shp文件必须放在英文路径下，否则会报错！

ArcToolBox—空间统计工具—空间关系建模—生成空间权重矩阵

这里的CONTIGUITY_EDGES_ONLY、CONTIGUITY_EDGES_CORNERS对应的就是Rock连接和Queen连接。生成权重矩阵信息如下：

最终生成的是swm文件，还需要将其转化为表。

空间统计工具——工具——将空间权重矩阵转化为表

生成的表是dbf文件，先用excel打开查看数据情况

OBJECTID即是区县的代码，这里和gal文件表示邻接的方式有些区别。即代号为128的区县有两个领接的区县123和134。
同样可以使用R语言转为$n\ast n$的矩阵，如下所示：

swm2mat <- function(dbf) {
     
  library(foreign)
  swm <- read.dbf(dbf)
  units <- as.character(unique(swm[,2]))
  n <- length(units)
  mat <- matrix(0, nr=n, nc=n)
  dimnames(mat) <- list(units, units)
  i <- as.character(swm[,2])
  j <- as.character(swm[,3])
  w <- swm[,4]
  Map(function(i,j,w) mat[i,j] <<- w, i, j, w)
  return(mat)
}
spmat <- swm2mat("province31_swm.dbf")

(最后吐槽一下，本来想写博客只是将自己学的知识整理一下。没想到论文检测的时候，居然检测到自己的博客，简直要吐血！！

参考文献：
1.漫谈空间权重矩阵W
2.将gal权重文件转成n-by-n矩阵
3.将swm权重文件转为n-by-n矩阵