动态规划：最长公共子序列（LCS）问题

question：
给出两个字符串A B，求A与B的最长公共子序列（子序列不要求是连续的）。
比如两个串为：
abcicba
abdkscab

ab是两个串的子序列，abc也是，abca也是，其中abca是这两个字符串最长的子序列。
Input
第1行：字符串A 第2行：字符串B (A,B的长度 <= 1000)
Output
输出最长的子序列，如果有多个，随意输出1个。
Sample Input
abcicba
abdkscab
Sample Output
abca

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分析，建立递推关系

  已知两个字符串S ₀ S₁…S_i…S_n-1和 T₀ T₁…T_j…T_m-1、

(1)当S_i=T_j时
S₀ S₁…S_i-1S_i和 T₀ T₁…T_j-1T_j的LCS长度=
S₀ S₁…S_i-1和 T₀ T₁…T_j-1LCS的长度+1

（2）当S_i!=T_j时
S₀ S₁…S_i-1S_i和 T₀ T₁…T_j-1T_j的LCS长度=
S₀ S₁…S_i-1和 T₀ T₁…T_j-1T_j的LCS长度与
S₀ S₁…S_i-1S_i和 T₀ T₁…T_j-1的LCS长度中较大的一个

思路：
1.定义dp[i][j]作为二维数组的一个元素，用 它来记录：
  s中，S₀ S₁…S_i-1和 T₀ T₁…T_j-1这两个子串的LCS
2.根据前面的递推关系式以及dp数组的含义有：
  （1）当S_i = T_j时
      dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+s[i];
  （2）当S_i != T_j时
      dp[i+i][j+i]=max(dp[i][j+1], dp[i+1][j])

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例如： s= "abcicba"
t= " abdkscab"

dp数组

t\s		1(a)	2(b)	3(c)	4(i)	5(c)	6(b)	7(a)
	0	0	0	0	0	0	0	0
1(a)	0	a	a	a	a	a	a	a
2(b)	0	a	ab	ab	ab	ab	ab	ab
3(d)	0	a	ab	ab	ab	ab	ab	ab
4(k)	0	a	ab	ab	ab	ab	ab	ab
5(s)	0	a	ab	ab	ab	ab	ab	ab
6(c)	0	a	ab	abc	abc	abc	abc	abc
7(a)	0	a	ab	abc	abc	abc	abc	abca
8(b)	0	a	ab	abc	abc	abc	abcb	abcb

代码实现：

class Solution{
     
public:
    string lcs(string s,string t){
     
        int len_s=s.length();
        int len_t=t.length();
        string dp[len_s+1][len_t+1];
        for(int i=0;i<len_t;i++){
     
            for(int j=0;j<len_s;j++){
     
                if(s[i]==t[j])
                    dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+s[i];
                else if(dp[i+1][j].length()>dp[i][j+1].length())
                    dp[i + 1][j + 1] = dp[i + 1][j];
                else
                    dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j + 1];

            }
        }
        return dp[-1][-1];

    }
};