二进制 GCD 学习笔记

前言

欧几里得算法可以在 log 的时间复杂度内求出 个数的 GCD，但是这还是太慢了。

在一些题目中 ，欧几里得算法就会 TLE。

欧几里得算法

理论：$\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{mod}b)$

二进制 GCD

更相减损术

已知两个数 $a$, $b$, 求 $\gcd (a,b)$。

设 $a\ge b$，若 $a=b$，则 $\gcd (a,b)=a=b$，否则，对于 $\forall d\mid a,d\mid b$，可以证明 $d\mid a-b$。

$\because d\mid a$ $\therefore a=d{k}_1$。同理，$b=d{k}_2$

$\because a-b=d{k}_1-d{k}_2=d(k_1-k_2)$

$\therefore d\mid a-b$

因此，$a$ 和 $b$ 的公因数都是 $a-b$ 和 $b$ 的。即：$\gcd (a,b)=\gcd (a-b,b)$

原理

假设我们要求的 $\gcd (a,b)$ 中，满足 $a,b>0$

则有以下 $5$ 种情况：

第一种：$a=b$，则有 $\gcd (a,b)=a=b$

第二种：$a=0$ 或 $b=0$，若 $a=0$，则 $\gcd (a,b)=\gcd (0,b)=b$，若 $b=0$，则 $\gcd (a,b)=\gcd (a,0)=a$

第三种：$a$ 和 $b$ 均是偶数。很明显，此时 $a$ 和 $b$ 有公因数 $2$，所以可以将 $a,b$ 同时除以 $2$，再求 GCD，用公式来表达，就是 $\gcd (a,b)=\gcd (\frac{a}{2},\frac{b}{2})$，等式右边乘以 $2$，是因为我们将 $a,b$ 都除以了 $2$，而没有算入答案，所以要乘 $2$。

第四种：$a$ 和 $b$ 中有一个偶数。不妨设 $a$ 就是那个偶数，显然，$2$ 不是 $a$ 和 $b$ 的公因数，所以我们直接把 $a$ 除以 $2$ 就可以了。表达式为：$\gcd (a,b)=\gcd (\frac{a}{2},b)$

第五种：$a$ 和 $b$ 都是奇数，设 $a>b$, 则有 $\gcd (a,b)=\gcd (\frac{a-b}{2},b)$。下面是证明。

证明

设 $a=\gcd (a,b)\times k_1,b=\gcd (a,b)\times k_2$。

$\because k_1$ 表示的数字和 $b$ 互质，$k_2$ 表示的数字和 $a$ 互质

$\therefore \gcd (k_1,k_2)=1$

接下来证明 $\gcd (a-b,b)=\gcd (a,b)$（这里跟前面的证明方法不一样）

$\because a=k_1\times \gcd (a,b),b=k_2\times \gcd (a,b)$

$\therefore a-b=(k_1-k_2)\times \gcd (a,b)$，又 $\because b=k_2\times \gcd (a,b)$

$\therefore \gcd (a-b,b)=\gcd (k_1-k_2,k_2)\times \gcd (a,b)$

接下来需要证明 $\gcd (k_1-k_2,k_2)=1$，下面采用 反证法。

设 $\gcd (k_1-k_2,k_2)=m,(m\in {\mathbb{N}}^{\ast },m>1),k_1-k_2=t_{1}m,k2=t_{2}m$

则 $k_1=(t_1+t_2)m$

$\therefore \gcd (k_1,k_2)=m\times \gcd (t_1+t_2,t_2)>1$

与 $\gcd (k_1,k_2)=1$ 矛盾，所以 $\gcd (k_1-k_2,k_2)=1$

$\because \gcd (k_1-k_2,k_2)=1$

$\therefore \gcd (a,b)=\gcd (a-b,b)$

综上所述，所以 $\gcd (a,b)=\gcd (a-b,b)$，证毕。

于是，第 $5$ 种情况可以转换为 $\gcd (a,b)=\gcd (a-b,b)$

又因为 $a,b$ 均为奇数，所以 $a-b$ 为偶数，于是，第 $5$ 种情况就能被转化为第 $4$ 种情况

所以 $\gcd (a-b,b)=\gcd (\frac{a-b}{2},b)$，即 $\gcd (a,b)=\gcd (\frac{a-b}{2},b)$

通过以上的推理，我们可以将 GCD 转化为

int gcd(int a, int b) {
	if (a == b) return a; // 1
	if (a == 0) return b; // 2
	if (b == 0) return a; // 2
	if (!(a & 1) && !(b & 1)) // 3
		return gcd(a >> 1, b >> 1) << 1;
	if (!(a & 1) && (b & 1)) // 4
		return gcd(a >> 1, b);
	if (!(b & 1)) return gcd(a, b >> 1); // 4
	if (a > b) return gcd((a - b) >> 1, b); // 5
	else return gcd((b - a) >> 1, a); // 5
}

可能这个代码看上去比欧几里得算法的时间复杂度高，但其实它比欧几里得算法还快上不少。

接下来，我们进行一个优化，将递归转化为递推，进一步减少时间复杂度（用到一些二进制的知识）。

我们先把两个数中的 $2$ 全部取出，也就是把两个数的二进制末尾的 $0$ 全部取出，保证其中至少有一个奇数，然后两个数再分别消掉末尾的 $0$，保证两个数都是奇数，最终使用更相减损术。

int gcd(int a, int b) {
	if (!a) return b; // a = 0;
	if (!b) return a; // b = 0;
	int shift;
	for (shift = 0; ~(a | b) & 1; shift++) 
		a >>= 1, b >>= 1;
	/*
	先 a | b，方便 2 个数一起消 0
	取反再与 1，判断末尾是不是 0 
	*/
	while (~a & 1) a >>= 1;
	// 判断 a 的末尾是不是 0
	do {
		while (!(b & 1)) b >>= 1; // 消 b 末尾的 0
		// 现在都是奇数 
		if (a > b) swap(a, b);
		b -= a; // 更相减损术
	} while (b); 
	return a << shift; // 公因数 2 ^ shift 
}

但是，这还是不够快！每次都用 while，效率低下，于是，我在这里隆重介绍我们的硬件函数__builtin，以这个名字开头的函数名都是运行速度极快！这里用到的是__builtin_ctz()，它用来处理一个数二进制末尾 $0$ 的个数。于是，我们的代码就变成了这样：

int gcd(int a, int b) {
	int az = __builtin_ctz(a), bz = __builtin_ctz(b);
	int z = az > bz ? bz : az, diff; // z 是后面要恢复的 2^z 
	b >>= bz;
	while (a) {
		a >>= az; // 右移 
		diff = b - a; // 更相减损术 
		az = __built_ctz(diff);
		if (a < b) b = a;  // 更新 b 
		a = diff < 0 ? -diff : diff; // 更新 a, diff < 0取相反数 
	}
	return b << z; // 答案 
}

到这里就结束啦，你学废了吗？

参考链接：这里 和 这里

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