计算方法（一）：误差

四种误差的定义

1. 模型误差：

由数学模型（比如公式）产生的误差。

例1： 自由落体运动
$$s=\frac{1}{2}g{t}^2,g\approx 9.8m/s^2$$
产生的计算数据$s(t)$，同物体真实下落的距离$s^{\ast }(t)$产生的模型误差>$s^{\ast }(t)-s(t)$。

2. 观测误差：

由观测得到的观测数据产生的误差。

例2： 给出一个参数$\alpha =(0.0021\pm 0.001)$中，0.001就是观测误差。

3. 截断误差：

模型的准确解与应用数值方法求得的解的差。

例3： 用Taylor公式计算指数
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots +\frac{x^n}{n!}+\dots$$
如果只取前n+1项，得到的阶段误差就是：
$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}-\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}=\sum _{k=n+1}^{\infty }\frac{x^k}{k!}$$

4. 舍入误差

对于无限小数，计算时只能取有限项位小数引起的误差。

例4： 用3.1415近似代替圆周率$\pi$，得到的就是舍入误差：
$$\begin{gathered} p=3.1415-3.141592\dots \\ =-0.000092\dots \end{gathered}$$

浮点数

1. 浮点数的表示方法

定义 任何一个有限位浮点数均可以表示成
$$x=\pm \omega {\beta }^J=\pm 0.{\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_t\times {\beta }^J,L\le J\le U$$
其中，$\beta$称为基，代表进制系统，$J$代表阶，是一个整数，$\omega =0.{\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_t$表示尾数，其中$0\le {\alpha }_i\le \beta ,i=1,2,\dots t$。

规格化浮点数： $x=0.{\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_t\times {\beta }^J$，其中尾数第一项${\alpha }_1\ne 0$。

例5：

• 十进制浮点数： $x=3.14=0.314\times 10^1$；
• 二进制浮点数： $x=1011.1101=0.10111101\times 2^4$；
• 十六进制浮点数： $x=3A0F.BC1=0.3A0FBC1\times 16^4$

2. 计算机位数与浮点数

一个n位的计算机内浮点数的表示一定是有限的，而且受限于位数。所以对于一个出厂的计算机来说，它内部表示的浮点数的尾数尾数$t$是固定的。

我们用
$$\mathcal{F}=\{x:x=0.{\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_t\times {\beta }^J,L\le J\le U\}$$
表示$\beta$进位制计数系统的全体浮点数，$L$表示 上溢限， $U$表示下溢限。 当一个浮点数超过$0.99\dots 9\times 10^U$或者小于$-0.99\dots \times 10^L$时，计算机无法表示这个浮点数（十进制意义）。

误差、误差限、有效数字

1. 误差的准确定义

1.1 定义 用$x^{\ast }$表示$x$的准确值的一个近似值，将近似值与准确值之差称之为近似值$x^{\ast }$的绝对误差

$$e^{\ast }=x^{\ast }-x$$

1.2 误差的性质

1. 近似值减去它的误差就是准确值：$x=x^{\ast }-e^{\ast }$;
2. 误差可正可负；
3. 误差为正：强近似；误差为负：弱近似。

2. 误差限

2.1 定义 由于准确值$x$可能无法得出，所以我们成误差的绝对值的上界为误差限:

$$|e^{\ast }|=|x^{\ast }-x|\le {ϵ}^{\ast }\to 误差限$$

误差限可以有很多，但是一定是非负数；近似值$x^{\ast }$的精确度表示：
$$x=x^{\ast }\pm {ϵ}^{\ast }$$

例6： 用毫米（$mm$）刻度米尺测量长度，读出$x^{\ast }=1235mm$。而米尺的误差不拆过$0.55mm$。这个时候可以取误差限为${ϵ}^{\ast }=0.55mm$，从而准确值：
$$(x=1235\pm 0.5)mm$$

2.2 四舍五入方法

把一个数$x$按四舍五入方法取得近似数的准则是：按照舍入到第几位小数，查看其下一位数，小于五则直接舍入；若大于五，舍去此位，然后前一位进一。

3. 有效数字

3.1 定义 ：如果近似值$x^{\ast }$的误差限是$x^{\ast }$的某一位的半个单位，则该位到$x^{\ast }$的第一位非零数字一共有$n$位，就称近似值$x^{\ast }$有n位有效数字。

如果用四舍五入方法取准确值的前n位作为近似值，那么这个近似值就有n位有效数字。

3.2 误差限与有效数字的关系

设规格化浮点数$x^{\ast }=0.{\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_n\dots \times 10^P$，如果误差限${ϵ}^{\ast }=\frac{1}{2}\times 10^{P-n}$，也就是
$$|x^{\ast }-x|\le \frac{1}{2}\times 10^{P-n}$$
则称$x^{\ast }$具有n位有效数字。

例7：

1. 首先将近似值$x^{\ast }$表示成规格化浮点数
   $$\begin{gathered} a_1{a}_2.a_3{a}_4=0.a_1{a}_2{a}_3{a}_4\times 10^2 \\ 0.00a_1{a}_2{a}_3=0.a_1{a}_2{a}_3\times 10^{-2} \end{gathered}$$
2. 利用${ϵ}^{\ast }=\frac{1}{2}\times 10^{P-n}$
   $$\begin{gathered} {ϵ}_1^{\ast }=\frac{1}{2}\times 10^{2-4} \\ {ϵ}_1^{\ast }=\frac{1}{2}\times 10^{-2-3} \end{gathered}$$

相对误差

1. 相对误差的定义

定义 近似数的误差和准确值的比值，称为近似数的相对误差。
$$e_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x}=\frac{x^{\ast }-x}{x}$$
如果$e_r^{\ast }$较小，可以用$x^{\ast }$代替$x$，然后用
$$e_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x^{\ast }}=\frac{x^{\ast }-x}{x^{\ast }}$$
表示相对误差

2. 相对误差限的定义

定义 相对误差绝对值的上界，称为近似值的相对误差限
$${ϵ}_r^{\ast }=\frac{{ϵ}^{\ast }}{|x|}$$
或者
$${ϵ}_r^{\ast }=\frac{{ϵ}^{\ast }}{|x^{\ast }|}$$

例8：

1. 参数$\alpha =(2.35\pm 0.001)mm$的相对误差限为
   $${ϵ}_r^{\ast }=\frac{0.001}{2.35}\approx 0.0043$$
2. $\pi$的近似值$x^{\ast }=3.14159$的相对误差
   $${ϵ}_r^{\ast }=\frac{0.00008}{3.14159}\approx 0.000025$$

3. 相对误差与有效数字的关系

（1）设近似数（采用规格化浮点数）$x^{\ast }=\pm 0.{\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_n\dots \times 10^p$，那么它的相对误差限可以选为
$${ϵ}_r^{\ast }=\frac{1}{2{\alpha }_1}\times 10^{-(n-1)}$$

（2）若近似数$x^{\ast }$的相对误差限满足
$${ϵ}_r^{\ast }\le \frac{1}{2({\alpha }_1+1)}\times 10^{-(n-1)}$$
那么近似数$x^{\ast }$至少有n位有效数字。

误差的传播

1. 基本四则运算结果的误差限

设有两个近似数$x^{\ast },y^{\ast }$和精确数$x,y$。$x^{\ast },y^{\ast }$的误差限为
${ϵ}^{\ast }(x^{\ast }),{ϵ}^{\ast }(y^{\ast })$
那么

1. 加减法：$x^{\ast }\pm y^{\ast }$的误差限
   $${ϵ}^{\ast }(x^{\ast }\pm y^{\ast })={ϵ}^{\ast }(x^{\ast })+{ϵ}^{\ast }(y^{\ast })$$
2. 乘法：$x^{\ast }{y}^{\ast }$的误差限
   $${ϵ}^{\ast }(x^{\ast }{y}^{\ast })=|y^{\ast }|{ϵ}^{\ast }(x^{\ast })+|x^{\ast }|{ϵ}^{\ast }(y^{\ast })$$
3. 除法：$\frac{x^{\ast }}{y^{\ast }}$的误差限
   $${ϵ}^{\ast }(\frac{x^{\ast }}{y^{\ast }})=\frac{|y^{\ast }|{ϵ}^{\ast }(x^{\ast })+|x^{\ast }|{ϵ}^{\ast }(y^{\ast })}{|y^{\ast }{|}^2}$$

这些误差限都可以用定义结合三角不等式得出。

例9： 已知$a=1.21\times 3.65+9.81$，每个数的绝对误差限都为0.005，求$a$的误差限
$$\begin{gathered} {ϵ}^{\ast }(a)={ϵ}^{\ast }(a=1.21\times 3.65+9.81) \\ ={ϵ}^{\ast }(1.21\times 3.65)+{ϵ}^{\ast }(9.81) \\ =1.21\times {ϵ}^{\ast }(3.65)+3.65\times {ϵ}^{\ast }(1.21)+{ϵ}^{\ast }(9.81) \\ =(1.21+3.65+1)\times 0.005\approx 0.0293\le 0.3 \end{gathered}$$
所以可取${ϵ}^{\ast }(a)=0.3$

2. 基本四则运算结果的相对误差限

设有两个近似数$x^{\ast },y^{\ast }$和精确数$x,y$。$x^{\ast },y^{\ast }$的相对误差限为
${ϵ}_r^{\ast }(x^{\ast }),{ϵ}_r^{\ast }(y^{\ast })$
那么

1. 加法：$x^{\ast }+y^{\ast }$的相对误差限
   $${ϵ}_r^{\ast }(x^{\ast }+y^{\ast })=\max \{{ϵ}_r^{\ast }(x^{\ast }),{ϵ}_r^{\ast }(y^{\ast })\}$$
2. 减法：$x^{\ast }-y^{\ast }$的相对误差限
   $${ϵ}_r^{\ast }(x^{\ast }-y^{\ast })=\frac{{ϵ}^{\ast }(x^{\ast })+{ϵ}^{\ast }(y^{\ast })}{|x^{\ast }-y^{\ast }|}$$
3. 乘、除法：$x^{\ast }{y}^{\ast }$,$\frac{x^{\ast }}{y^{\ast }}$的相对误差限
   $${ϵ}_r^{\ast }(x^{\ast }{y}^{\ast })={ϵ}_r^{\ast }(\frac{x^{\ast }}{y^{\ast }})={ϵ}_r^{\ast }(x^{\ast })+{ϵ}_r^{\ast }(y^{\ast })$$

例10： 求例9的数的相对误差限
$$\begin{gathered} {ϵ}_r^{\ast }(a)={ϵ}_r^{\ast }(1.21\times 3.65+9.81) \\ =\max \{{ϵ}_r^{\ast }(1.21\times 3.65),{ϵ}_r^{\ast }(9.81)\} \\ =\max \{\frac{0.005}{1.21}+\frac{0.005}{3.65},\frac{0.005}{9.81}\} \\ =0.0055 \end{gathered}$$
所以可取${ϵ}_r^{\ast }(a)=0.0055$

3. 函数运算后的误差限

设准确值$x$有近似值$x_0$，用$f(x_0)$去近似$f(x)$时，误差可用Taylor展开式得到
$$e^{\ast }(f(x)-f(x_0))=e^{\ast }(f^{\prime }(x_0)(x-x_0))$$
误差限
$${ϵ}^{\ast }(f(x_0))=|f^{\prime }(x_0)|{ϵ}^{\ast }(x_0)$$

再来看一个特殊的例子

例11： 请问0.25用来表示$\frac{1}{4}$有几位有效数字？
$$0.25=0.25000\dots$$
所以有无限位有效数字

例12： 已知$x$的相对误差限为$\alpha \%$，求$x^n$的相对误差限。
$${ϵ}_r^{\ast }(x^n)=\frac{{ϵ}^{\ast }(x^n)}{|x^n|}=\frac{n|x^{n-1}|{ϵ}^{\ast }(x)}{|x^n|}=\frac{n{ϵ}^{\ast }(x)}{|x|}=n{ϵ}_r^{\ast }(x)=n\alpha \%$$