[小白]数学建模中常用的两种相关系数

在数学建模中我们常常需要判断 两个变量或者多个变量之间的相关性的大小，这时候我们就需要 相关系数来衡量 其相关性的大小，而我今天介绍的是两种我们数学建模中最常用的相关系数—— 皮尔逊（Person）相关系数和斯皮尔曼（Spearman）相关系数。

皮尔逊（Person）相关系数

皮尔逊相关系数

定义：如果有两组数据$X:\left\{X_1,X_2,...,X_n\right\}$和$Y:\left\{Y_1,Y_2,...,Y_n\right\}$（一般调查得到的数据叫样本数据）
$$样本均值:\bar{X}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i}{n}$$
$$样本协方差：Cov(X,Y)=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{n-1}$$
$$样本Person相关系数：r_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{S_X{S}_Y}$$
$S_X$是$X$的样本标准差，$S_X=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2}{n-1}}$,同理,$S_Y=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{\left(Y_i-\bar{Y}\right)}^2}{n-1}}$。
皮尔逊相关系数可以看成去除两个变量的量纲影响，即将X和Y标准化后的协方差。

皮尔逊相关系数的计算

在数学建模中我们常用到编程计算工具就是MATLAB了。虽然MATLAB功能强大，但是代码却非常复杂，尤其是在标注注释非常少情况下更是堪比天书。所以，如果你编程的基础非常好，那我建议你用MATLAB计算相关数据；如果你编程基础不太好，那我建议用相关的统计软件来计算，例如我们计算相关系数用到的SPSS软件。

MATLAB计算皮尔逊相关系数

corrcoef函数：correlation coefficient 相关系数
R=corrcoef(A)
返回A的相关系数矩阵，其中A的列表示各项指标，行表示样本数据。
R=corrcoef(A,B)
返回两个随机变量A和B（两个向量）之间的相关系数。

clear;clc;
X=randi(10,1,6);
Y=randi(10,1,6); %生成两个1-10,1*6的随机向量
R=corrcoef(X,Y); %计算相关系数

对皮尔逊相关系数进行假设检验

通过对皮尔逊相关系数进行假设检验可以判断其显著性的大小，而一般常用到的是p值判断法。没有学过假设检验的小伙伴，可以去学习一下概率论与数理统计，这里我就不过多解释了，直接看如何用MATLAB检验显著性大小。
[R,P]=corrcoef(X,Y)
R返回相关系数，P返回对应其相关系数的p值

clear;clc;
X=randi(10,1,6);
Y=randi(10,1,6);
[R,P]=corrcoef(X,Y); %R是相关系数，P是p值

若p<0.01，说明在99%的置信水平上两变量具有显著的相关性
若p<0.05，说明在95%的置信水平上两变量具有显著的相关性
若p<0.10，说明在90%的置信水平上两变量具有显著的相关性
（置信水平/可靠度：置信水平表示区间估计的把握程度）

斯皮尔曼（Spearman）相关系数

斯皮尔曼相关系数

定义：$X$和$Y$为两组数据，其斯皮尔曼（等级）相关系数：
$$r_s=1-\frac{6{\sum }_{i=1}^n{d}_i^2}{n\ast (n^2-1)}$$ $$-1\le r_s\le 1$$
其中，$d_i$是$X_i$和$Y_i$之间的等级差。
（一个数的等级，是将它所在的一列数据按照从小到大排列后，这个数所在的位置）

X	Y	X的等级	Y的等级	等级差	等级差的平方
1	10	1	5.5	4.5	20.25
3	10	3	5.5	2.5	6.25
6	5	4	2.5	1.5	2.25
10	9	5.5	4	1.5	2.25
10	2	5.5	1	4.5	20.25
2	5	2	2.5	0.5	0.25

注意：如果有的数值相同，则他们所在的位置取算数平均值。

根据公式$r_s=1-\frac{6{\sum }_{i=1}^n{d}_i^2}{n\ast (n^2-1)}$可得：

$X$和$Y$的斯皮尔曼相关系数为：
$$r_s=1-\frac{6\times (20.25+6.25+2.25+2.25+20.25+0.25)}{6\times 35}$$

另一种斯皮尔曼相关系数的定义

斯皮尔曼相关系数还被定义为等级之间的皮尔逊相关系数。

如何计算斯皮尔曼相关系数

MATLAB计算斯皮尔曼相关系数

1. corr(X,Y,‘type’,‘Spearman’)
   计算X向量和Y向量之间的斯皮尔曼相关系数，( X,Y一定是列向量 )。
2. corr(X,‘type’,‘Spearman’)
   计算X矩阵各列之间的斯皮尔曼相关系数。

X=[1,3,6,10,10,2]'; %一定是列向量，一撇'表示矩阵转置
y=[10,10,5,9,2,5]';
coff=corr(X,Y,'type','Spearman');

coff =
   -0.5374  %MATLAB会与理论计算有微小的误差
   %原因在于MATLAB没有考虑数值相同时，等级取算数平均值

SPSS计算斯皮尔曼相关系数

1. 导入或者输入相关数据，如下是如何导入Excel表中数据
2. 找到分析>> 相关>>双变量(也可以计算皮尔逊相关系数)

对斯皮尔曼相关系数进行假设检验

%直接给出相关系数和p值
[R,P]=corr(X,'type','Spearman');
%注意这里X、Y也必须是列向量

两种相关系数的使用条件

如何选择使用哪种相关系数：

1. 连续数据，正态分布，线性关系 ，用person相关系数最为合适，虽然也能使用spearman相关系数，但效果没person相关系数好。
2. 如何上述的条件任一不满足，则选用spearman相关系数，不可以用person相关系数。
3. 两个定序数据之间只能用spearman相关系数，不能用person相关系数。

定序数据：反映对象等级、顺序关系的数据，例如：优、良、差。