【数论】基础数论概念

基础数论概念

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首先我们来回顾一下基础数论中关于整数集Z={…，-2，-1，0，1，2，…}和自然数集N={0，1，2，3，4，…}的一些概念。

整除性与约数

一个整数可以被另一个整数整除是数论中的一个关键概念。符号 d|a d | a （读作“d整除a”）的含义是，存在摸个数k，使得a=kd。任何整数均可整除0。如果a>0且d|a，那么|d|<=|a|。如果d|a，则称a是d的倍数。如果d不能整除a，则写作da。

如果d|a且d>=0，则称d是a的约数。注意， d|a d | a 当且仅当 −d|a − d | a ，即a的任何约数的负数同样可以整除a。因此，不失一般性，可规定约数为非负数。非零整数a的约数应至少为1，且不会大于|a|。例如，24的约数是1，2，3，4，6，8，12和24。

任何正整数a均可被平凡约数 1和其自身a所整除。整数a的非平凡约数称为a的因子。例如，20的因子是2，4，5和10。

素数与合数

如果一个数a>1且只能被平凡约数1和它自身所除，则这个数是素数。素数游戏的特殊的性质。它在数论中也扮演着十分重要的角色。前20个素数按序排列如下：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71

如果一个整数a>1且不是素数，则称之为合数。例如，39是一个合数，因为3|39。称整数1是基本单位，并且它既不是素数也不是合数。同样，整数0和所有负整数既不是素数也不是合数。

除法定理、余数和等模

给定一个整数n，我们可以将整数集划分成n的倍数和非n倍数两部分。通过计算非n的倍数除以n的余数可以对非n倍数进行有效分类。而许多数论理论正是通过这种分类来改进对n的北方和非n倍数的划分。下面的定理给出该改进的理论基础。这里，我们忽略了其证明。

定理(1)（除法定理）：

对于任何整数a和任何正整数n，存在唯一整数q和r，满足0<=r<n且a=qn+r。 对 于 任 何 整 数 a 和 任 何 正 整 数 n ， 存 在 唯 一 整 数 q 和 r ， 满 足 0 <= r < n 且 a = q n + r 。

称q=⌊a/n⌋为除法的 商，值r=a mod n为除法的 余数。n|a当且仅当a mod n=0。
根据整数模n的余数，我们可以将所有整数划分成n个等价类。包括整数a的 模n等价类为

[a]n=a+kn:k∈Z [ a ] n = a + k n : k ∈ Z

例如，[3]7={…，-11，-4，3，10，17，…}，这个集合同时也可以表示为[-4]7和[10]7。 a∈[b]n a ∈ [ b ] n 和a≡b(mod n)是等价的。所有这类等价类的集合是

Zn=[a]n:0<=a<=n−1(1) Z n = [ a ] n : 0 <= a <= n − 1 ( 1 )

当读者看到

Zn=0，1，2，...，n−1(2) Z n = 0 ， 1 ， 2 ， . . . ， n − 1 ( 2 )

这个定义时，按照式(1)理解即可：0代表 [0]n [ 0 ] n ，1代表 [1]n [ 1 ] n ，等等，即用每个等价类最小的非负元素来表示该等价类。然而，我们应该记着相应的等价类。例如，在我们说-1是 Zn Z n 的一个元素时，实际上指的是 [n−1]n [ n − 1 ] n ，因为-1≡n-1(mod n)。

公约数与最大公约数

如果d是a的约数并且d也是b的约数，则d是a与b的公约数。例如，30的约数包括1、2、3、5、6、10、15、30，24的约数包括1、2、3、4、6、8、12、24，因此24与30的公约数为1、2、3和6。需要注意的是，1是任意两个整数的公约数。

公约数的一条重要的性质是：

d|a且d|b蕴含着d|(a+b)且d|(a−b)(3) d | a 且 d | b 蕴 含 着 d | ( a + b ) 且 d | ( a − b ) ( 3 )

更一般的，对于任意整数x和y，有

d|a且d|b蕴含着d|(ax+by)(4) d | a 且 d | b 蕴 含 着 d | ( a x + b y ) ( 4 )

并且，如果a|b，那么|a|<=|b|，或者b=0，这更说明

a|b且b|a蕴含着a=±b(5) a | b 且 b | a 蕴 含 着 a = ± b ( 5 )

两个不同时为0的整数a与b的公约数中最大的称其为 最大公约数，记作gcd(a，b)。例如，gcd(24，30)=6，gcd(5，7)=1，gcd(0，9)=0。如果a与b不同时为0，则gcd(a，b)是一个在1与min(|a|，|b|)之间的整数。定义gcd(0，0)=0，该定义是使gcd函数的基本性质（如下面的等式(9)）普遍诚意所必不可少的。
下列是gcd函数的基本性质：

gcd(a,b)=gcd(b,a)(6) g c d ( a , b ) = g c d ( b , a ) ( 6 )

gcd(a,b)=gcd(−a,b)(7) g c d ( a , b ) = g c d ( − a , b ) ( 7 )

gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)(8) g c d ( a , b ) = g c d ( | a | , | b | ) ( 8 )

gcd(a,0)=|a|(9) g c d ( a , 0 ) = | a | ( 9 )

gcd(a,ka)=|a|对任意k∈Z(10) g c d ( a , k a ) = | a | 对 任 意 k ∈ Z ( 10 )

下面的定理给出了gcd(a，b)的另外一个有用特征。

定理(2)：

如果任意整数a和b都不为0，则gcd(a，b)是a与b的线性组合集ax+by:x,y∈Z中的最小正元素 如 果 任 意 整 数 a 和 b 都 不 为 0 ， 则 g c d ( a ， b ) 是 a 与 b 的 线 性 组 合 集 a x + b y : x , y ∈ Z 中 的 最 小 正 元 素

证明:

设s是a与b的线性组合集中的最小正元素，并且对于某个x，y ∈Z ∈ Z ，有s=ax+by。
设q=⌊a/s⌋，则式

amodn=a−n⌊a/n⌋(0<=amodn<n) a m o d n = a − n ⌊ a / n ⌋ ( 0 <= a m o d n < n )

说明

amods=a−qs=a−q(ax+by)=a(1−qx)+b(1−qy) a m o d s = a − q s = a − q ( a x + b y ) = a ( 1 − q x ) + b ( 1 − q y )

因此，a mod s 也是a与b的一个线性组合。s是这个线性组合中的最小正数，由于 0<=amods<s 0 <= a m o d s < s ，故有a mod s=0。因此有s|a，类似地，可得到s|b。因此，s是a与b的公约数，所以gcd(a，b)>=s。因为gcd(a，b)能同时被a与b整除，并且s是a与b的一个线性组合，所以由式(4)可知gcd(a，b)|s。但由于gcd(a，b)|s和s>0，因此gcd(a，b)<=s。将上面已证明的gcd(a，b)>=s和gcd(a，b)<=s结合起来，得到gcd(a，b)=s,因此证明了s是a与b的最大公约数。

推论(3)：

对任意整数a与b，如果d|a且d|b，则d|gcd(a，b)。 对 任 意 整 数 a 与 b ， 如 果 d | a 且 d | b ， 则 d | g c d ( a ， b ) 。

证明：根据定理(2)，gcd(a，b)是a与b的一个线性组合，所以由式(4)可知，该推论成立。

推论(4)：

对所有整数a和b以及任意非负整数n，有gcd(an,bn)=n∗gcd(a,b) 对 所 有 整 数 a 和 b 以 及 任 意 非 负 整 数 n ， 有 g c d ( a n , b n ) = n ∗ g c d ( a , b )

证明：如果n=0，该推论显然成立。如果n>0，则gcd(an,bn)是集合{anx+bny:x,y ∈Z ∈ Z }中最小正元素的n倍。

推论(5)：

对于任意正整数n、a和b，如果n|ab且gcd(a,n)=1，则n|b。 对 于 任 意 正 整 数 n 、 a 和 b ， 如 果 n | a b 且 g c d ( a , n ) = 1 ， 则 n | b 。

证明：证明过程读者可思考一下，呵呵（^_^）。

互质数

如果两个整数a与b只有公约数1，即gcd(a,b)=1，则a与b称为互质数，或称a与b 互质。例如，8和15是互质数（8与15互质），因为8的约数为1、2、4、8，而15的约数为1、3、5、15。下面的定理说明如果两个整数分别与一个整数p为互质数，则其积与p互质。

定理(6):

对任意整数a、b和p，如果gcd(a,p)=1且gcd(b,p)=1，则gcd(ab,p)=1 对 任 意 整 数 a 、 b 和 p ， 如 果 g c d ( a , p ) = 1 且 g c d ( b , p ) = 1 ， 则 g c d ( a b , p ) = 1

证明：由定理(2)可知，存在整数x、y、x’和y’满足

ax+py=1 a x + p y = 1

bx′+py′=1 b x ′ + p y ′ = 1

把上面两个等式两边分别相乘，整理得：

ab(xx′)+p(ybx′+y′ax+pyy′)=1 a b ( x x ′ ) + p ( y b x ′ + y ′ a x + p y y ′ ) = 1

因为1是ab与p的一个正线性组合，所以应用定理(2)就可以证明结论。

对于整数n1，n2，…，nk，如果对任何i≠j都有 gcd(ni,nj)=1 g c d ( n i , n j ) = 1 ，则称整数n1，n2，…，nk，两两互质。

至此，本文就讲到这儿了。
如果有兴趣要做一些练习题的，可以看看下面：

练习：

1.3389. 【NOIP2013模拟】Heaven Cow与God Bull
2.5773. 【NOIP2008模拟】简单数学题

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作者：zsjzliziyang
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