【技巧与思想】二分

二分

目录

二分

1.什么是二分？

2.二分的作用

3.二分的实现

4.二分的要求

5.二分的时间复杂度

6.对于上面那道题目Code

7.一般二分Code

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1.什么是二分？

二分，是二分查找的简称，又叫折半查找，是一种用于快速查找的工具，也可以说是一种技巧与思想。

2.二分的作用

也许你以前玩过一个游戏，就是一个人在心中想一个数，规定这个数大于0并且小于100，然后让你猜他想的那个数，你每猜一次他都会告诉你你猜的数是大了还是小了，最后直到你根据他的提示不断缩小他想数的范围并找到他想的数，其实二分就是用来快速找到“他心里所想的那个数”。如果用二分查找来找“他心里所想的那个数”的话，你最多只用猜7次。

3.二分的实现

首先，我们必须要规定一个边界，即“那个数的上限和下限”，这样我们才能进行查找，设这个数的下限为l，上限为r。如果我们想要尽可能猜的次数少的话，那么我们是不是每次得猜尽量是上限和下限最中间的数？没错，我们每次取一个l和r的中间数，mid=(l+r)/2，（上限+下限）/2就是上限和下限的中间数了，这里不讲原因。接下来我们要判断这个mid是大于他想的数还是小于他想的数，如果大于他想的数，那么他想的数的范围就可以锁定在l~mid-1中，反之，就是在mid+1~r中。那么此时上限和下限就要更改，即r=mid-1或l=mid+1，然后再重复此过程直到mid等于他想的数就可以退出了。

但是假设只给你几个数呢？其实也是一样的。我们来模拟一下，假设给你{1,22,54,78,100}这几个数，我随机想一个数，假设是22，那么首先你的上限是5，下限是1（表示有几个数），然后你再进行二分，取一个中间的数mid=(l+r)/2=3（这里表示的是第3个数，即在第1个数到第5个数之间，第3个数是最中间的数），然后我们看第3个数，第三个数大于了22，所以要将上限改为3-1，即r=mid-1=2。那么我们再在第1个数和第2个数中找一个中间数，mid=(l+r)/2=1。第1个数小于了22，所以我们要将下限改为1+1=2，即l=mid+1=2。最后我们再找2和2的中间数，于是mid=(l+r)/2=2。第二个数刚好就是我想的那个数了。

4.二分的要求

什么？二分还有什么要求，不就是要给定上限和下限吗？如果你这样想的话，那就大错特错了。

1.必须采用顺序存储结构。

2.必须按关键字大小有序排列。这是什么意思呢？那刚才的例子来说，其实1~100这些数都早已按从小到大的顺序排列好了，所以你才可以使用二分查找。假设我将这100个数全部打乱，那你就不能用二分了。举个简单的例子，在{100,1,54,78,22}这5个数中，我想的数还是22，那么你如何用二分查找呢？首先你的上限是5，下限是1（表示有几个数），然后你再进行二分，取一个中间的数mid=(l+r)/2=3（这里表示的是第3个数，即在第1个数到第5个数之间，第3个数是最中间的数，即54）发现54大于了22，那么你就要调整上限，r=mid-1=2。再取中间数mid=(l+r)/2=1。第一个数（100）大于22，再调整上限，r=mid-1=0。这个时候r

5.二分的时间复杂度

二分查找的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分，取a[n/2]与x做比较，如果x=a[n/2],则找到x,算法中止;如果xa[n/2],则只要在数组a的右半部搜索x.

时间复杂度无非就是while循环的次数!

总共有n个元素，

渐渐跟下去就是n,n/2,n/4,....n/2^k(接下来操作元素的剩余个数)，其中k就是循环的次数

由于你n/2^k取整后>=1

即令n/2^k=1

可得k=log2n,(是以2为底，n的对数)

所以时间复杂度可以表示O(h)=O(log2n)

6.对于上面那道题目Code

给你n个互不相等的数，以及一个在这n个数中的一个数，问你这个数是这n个数中第几大的数。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,k,a[1000000];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    scanf("%d",&k);
    sort(a+1,a+n+1);
    int l=1,r=n,mid,ans;
    while(l<=r){
        mid=(l+r)/2;
        if(a[mid]>=k){
            r=mid-1;
            ans=mid;
        }
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d\n",n-ans+1);
    return 0;
}

7.一般二分Code

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int main(){
    int l=1,r=100000000,mid;
    while(l<=r){
        mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)){
            l=mid+1;
        }
        else{
            r=mid-1;
        }
    }
    return 0;
}

 

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作者：zsjzliziyang 
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