Ramsey定理

一、完全图：所有顶点间两两相连构成的图，N阶完全图有C(n,2)条边，如下图：

二、思考：是否能够对一个K5完全图，仅仅使用蓝色或者红色给其10条边染色，st无论每条边染成何种颜色，总可以找到一个纯蓝色的K3或者一个纯红色的K3？

一个反例：

如果是对一个K6完全图,就是经典的友谊定理，在至少6人中，或者有3人，他们互相认识；或者有3人，他们两两互相不认识。

证明：从任意一点（此处以N1为示范）可以引5条线，由鸽巢原理可知，至少有3条边会同色假设为红色（蓝色类似）

考虑此三边的终点的着色情况，将此三点中的两点连线着红色，即可构成一个红色的K3

如果不用红色给N3、N4、N5着色，则会得到一个蓝色的K3,也满足

三、Ramsey定理

Ramsey定理：对于一个给定的两个整数m,n>=2,则一定存在一个最小整数r,使得用两种颜色（例如红蓝）无论给Kr的每条边如何染色，总能找到一个红色的Km或者蓝色的Kn。显然，当p>=r的时候，Kp也满足这个性质。

r可以看做一个有关m,n的二元函数，即r(m,n)。在友谊定理中r(3,3)=6。

基本性质：

①等价性 r(m,n)=r(n,m)     

②r(2,n)=n  k2较特殊 只有一条边 最小的kr为Kn        

③r(m,2)=m     由上面两条可得

寻找r(m,n)的值很困难，枚举计算大致的思路是数组记录每条边染色的情况（双色）。对于一个Kr的完全图，C(r,2)条边，即数组长度为C(r,2)，每条边2种情况，则一共有2^C(r,2)种情况。

例如要计算r(5,5)，大致的上下界为43~49，则要处理2^903个长度为903的数组，并判断是否存在K5完全图同色。   

目前还无人给出r(5,5)是多少，我等后辈仍需努力