MATLAB07:数值计算

目录

多项式的数值运算

使用MATLAB表示多项式

使用向量表示多项式

多项式求值:polyval()

多项式的乘法:conv()

多项式的数值运算

多项式的因式分解:roots()

多项式的微分:polyder()

多项式的积分:polyint()

非线性表达式的数值运算

方程(组)求根fsolve()

数值微分

求差分:diff()

求导数:diff(y)./diff(x)

数值积分

数值积分原理

数值积分函数:integral()

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多项式的数值运算

使用MATLAB表示多项式

使用向量表示多项式

在MATLAB中,多项式可以用向量表示,向量中的元素为多项式的系数(降幂排序):第一位为多项式最高次项系数,最后一位为常数项.

例如多项式:   

                                                            

可以用向量p = [1 0 -2 -5]表示.

多项式求值:polyval()

使用polyval(p, x)可以计算多项式p在x的每个点处的值.

a = [9,-5,3,7]; x = -2:0.01:5;
f = polyval(a,x);
plot(x,f);

                                           

多项式的乘法:conv()

使用conv(p1, p2)函数可以对两个向量p1和p2进行卷积相乘,用于计算多项式的乘法.

例如多项式:
                                                       

可以使用conv()函数得到展开后的多项式:

p = conv([1 0 1], [2 7])

得到p = [2 7 2 7].

多项式的数值运算

多项式的因式分解:roots()

使用roots(p)函数可以对多项式p进行因式分解,即求表达式值为0的根.

p = roots([1 -3.5 2.75 2.125 -3.875 1.25])

得到p = [2 -1, 1+0.5i, 1-0.5i, 0.5],表示

                                           

多项式的微分:polyder()

使用polyder(p)函数可以计算多项式的导数.

例如对下面多项式求导:

                                                                   

p = polyder([5 0 -2 0 1]);

得到p = [20 0 -4 0],表示计算得到导数

多项式的积分:polyint()

使用polyint(p, k)函数可以计算多项式p的积分,积分结果的常数项设为k.

例如对下面多项式求导:

                                                                  

p = polyint([5 0 -2 0 1], 3)

得到p = [1 0 -0.6667 0 1 3],表示计算得到积分

                                                     

非线性表达式的数值运算

方程(组)求根fsolve()

使用fsolve(fun, x0)求非线性方程组的根,fun为待求方程的函数句柄,x0为初值.

1. 求方程在附近的解.

   f2 = @(x) (1.2*x+x*sin(x)+0.3);
   fsolve(f2,0)	% 得到 -0.3500
   

2. 解方程组

                                                           

   设定初值为[0,0]

fun = @(x) [exp(-exp(-(x(1)+x(2))))-x(2)*(1+x(1)^2)...
    x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5]
x0 = [0,0];
x = fsolve(fun,x0)	% 得到[0.3532 0.6061]

数值微分

求差分:diff()

使用diff(X, n)计算向量X的n阶差分,n默认为1.

x = [1 2 5 2 1];
diff(x);	% 得到 [1 3 -3 1]
diff(x,1);	% 得到 [1 3 -3 1]
diff(x,2);	% 得到 [2 -6 2]

求导数:diff(y)./diff(x)

使用导数的定义

                                                        

可以计算函数在某点的近似导数.

x0 = pi/2; h = 0.1;
x = [x0 x0+h];
y = [sin(x0) sin(x0+h)];
m = diff(y)./diff(x)		% 得到 m = -0.005

h的取值越小,得到的近似导数越精确.

                                                                    

下面程序计算的一阶和二阶导数的值.

x = -2:0.005:2; y = x.^3;
m = diff(y)./diff(x);			% 计算一阶导数
m2 = diff(m)./diff(x(1:end-1));	% 计算二阶导数

plot(x,y,x(1:end-1),m,x(1:end-2),m2);
xlabel('x'); ylabel('y');
legend('f(x) =x^3','f''(x)','f''''(x)', 4);

                                     

数值积分

数值积分原理

有三种常见算法用于计算数值积分: 矩形法,梯形法,抛物线法,它们分别把微分区间的图形视为矩形,梯形,抛物线以计算面积.

算法	图示	表达式
矩形法(Midpoint Rule)
梯形法(Trapezoid Rule)
抛物线法(Simpson’s Rule)

下面分别使用三种方法计算在区间(0,2)内的积分.

h = 0.05; x = 0:h:2;
y = 4*midpoint.^3;

% 使用矩形法计算近似积分
midpoint = (x(1:end-1)+x(2:end))./2;
s = sum(h*y)			% 得到 15.9950

% 使用梯形法计算近似积分
trapezoid = (y(1:end-1)+y(2:end))/2;
s = h*sum(trapezoid)	% 得到 15.2246

% 使用抛物线法计算数值积分
s = h/3*(y(1)+2*sum(y(3:2:end-2))+4*sum(y(2:2:end))+y(end))	% 得到 15.8240

数值积分函数:integral()

integral(),integral2(),integral3()分别对函数在xmin至xmax间进行一重,二重,三重积分.

它们的第一个参数都应该是一个函数句柄,下面例子演示他们的用法:

1. 计算

   f = @(x) 1./(x.^3-2*x-5);
   integral(f,0,2)		% 得到 -0.4605
   

2. 计算

   f = @(x,y) y.*sin(x)+x.*cos(y);
   integral2(f,pi,2*pi,0,pi)	% 得到 -9.8696
   

3. 计算

   f = @(x,y,z) y.*sin(x)+z.*cos(y);
   integral3(f,0,pi,0,1,-1,1)