关于矩阵的一些理解

今天拜读了孟岩老师的《理解矩阵》三篇：1 2 3 收获颇深，这里写一下自己的总结。有些内容摘抄自网上，百度百科。

矩阵：描述的是一种空间中的变换，变换的对象可以是向量也可以是另一个矩阵（看与矩阵相乘的是什么了）。被变换的向量表示的是n维空间中的一个点；被变换的矩阵则表示一个坐标系，是坐标系的变换。这种变换又有两种理解方式，一种是在固定参考系下将向量进行变换；一种是将固定的对象（向量，参考系）用其它的坐标系来描述。也就是说一个矩阵既可以理解为一种空间上的变换，也可以理解为一个新的坐标系。对于第一种理解，左乘这个矩阵表示进行空间变换；对于第二种理解，左乘这个矩阵表示用新的坐标系进行描述，新的坐标系是由该矩阵和原坐标系累加得到的，对于向量a=Ia，意思是“这有一个向量，在单位阵I代表的坐标系描述下是a”，那么Mb则表示一个向量，在M坐标系描述下是b，同理M1M2c则表示一个向量在【某个坐标系】下描述为c，而这个【某个坐标系】在M1坐标系描述下为M2。以此类推，再左乘多少个都一样，都是改变一个向量的描述方式而已。

仿射变换：线性变换+平移。在n维空间做仿射变换通常需要一个n+1维矩阵，右面和下面分别加一行0，右下角则是1。

线性变换：平行线变换之后仍然平行的变换，即“拉伸”而不“弯曲”。 

特征向量与特征值：线性变换的特征向量（本征向量）是一个非退化的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。一个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。即A*x=lambda*x，则对于矩阵A，x是其特征向量，lambda是其特征值。

矩阵的行列式等于所有特征值之积，矩阵的秩等于非零特征值的个数。对角阵的特征值就是对角线上的元素。

随着地球的自转，每个从地心往外指的箭头都在旋转，除了在转轴上的那些箭头。

考虑地球在一小时自转后的变换：地心指向地理的南极箭头是这个变换的一个特征向量，但是从地心指向赤道任何一处的箭头不会是一个特征向量。因为指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸，它的特征值是1。 

相似变换与相似矩阵：一个矩阵可以通过左边和右边分别乘以一个非奇异阵和它的逆来得到另一个矩阵，则这两个矩阵是相似的，从一个矩阵得到另一个矩阵的过程叫作做相似变换。相似矩阵具有相同的特征值，代表同一个变换的不同描述。

行列式：在值上等于一个矩阵的n维向量按照平行四边形法则所搭起的n维立方体的体积。描述一个变换对体积的影响。是变换对象经过矩阵所对应的变换的作用后体积缩放系数。

定义：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。

可以想象如果矩阵的n维向量不都是线性无关的，则在某个维度上是没有分量的，因此立方体体积要乘以一个0，必为0。

除了等于0外，行列式还可正可负，如果行列式为负则代表加入一次镜面反射。 

逆阵，奇异、非奇异，可逆、非可逆：与矩阵相乘能得到单位阵的矩阵，由于求逆阵的时候需要用行列式做分母去除伴随阵，因此若行列式为0则不存在逆阵，这样的矩阵就是不可逆的，叫做奇异阵。在几何意义下，这种矩阵所代表的线性变换是不可逆的，无法找到一个逆阵（即逆变换）撤销已经做了的变换，即在变换过程中会丢失信息，比如投影变换就是一种不可逆变换，在某个维度上会被压扁。奇异阵行列式为0，各向量做不到线性无关。如果一个矩阵是奇异阵，那么它的所有向量就做不到线性无关，也就是存在这样的向量，它可以通过矩阵的其它向量的线性组合进行表示，那么这个矩阵就无法代表整个解空间，即在至少一个维上是没有分量的。换一种说法就是矩阵的秩小于其维数。所以经过这个矩阵所代表的变换，在那个维度上就会被压扁，从而整体体积为0，即行列式为0。

矩阵的极大无关组和秩：矩阵的极大无关组的向量个数。极大无关组是矩阵行向量的子集，极大无关组里的向量都是线性无关的，即每一个向量都不可以通过其它向量进行线性组合来表示。

正交阵和正交变换：所有向量都是单位向量且互相垂直。正交阵的行列式为+1、-1，行列式为+1的正交阵所代表的正交变换即旋转，-1则代表镜像旋转。正交变换保持长度和夹角，即正交变换是全等的。