逻辑题 | 水仙花数与兰德尔数

前言

兰德尔数又称自方幂数，是一类涉及自身特点的一类整数。最简单的三位兰德尔数称水仙花数，四位称玫瑰花数，五位称五角星数，六位称六合数等。本文从搜索水仙花数开始，进而探索一般 n 位兰德尔数。

 

目录

水仙花数

n 位兰德尔数

 

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水仙花数

一个三位数如果等于它的三位数字的立方和，该三位数称为水仙花数。

 

探究所有的水仙花数

 

以下以两种基本方式来设计求解

• 基于分解方式的程序设计

设置 m (100 ~ 999) 循环枚举所有三位数，把 m 分解出三个数字 a, b, c 然后检验 m 是否等于 a, b, c 的立方和。如果相等，则打印输出：

源程序：

// 基于分解方式的求水仙花数程序
#include 
int main()
{
    int m, a, b, c;
    for (m = 100; m <= 999; m++)    // 把 m 分解为三个数字
    {
        a = m / 100;
        b = (m / 10) % 10;
        c = m % 10;
        if (m == (a * a * a + b * b * b + c * c * c))   // 检验是否满足条件
        {
            printf("%d ", m);
        }
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

运行结果：

153 370 371 407

 

• 基于组合方式的程序设计

设置 a (1 ~ 9), b (0 ~ 9), c (0 ~ 9) 三重循环对应枚举百位, 十位与个位三个数字，由 a,b,c 组合为三位数 m 后检验 m 是否等于 a,b,c 的立方和。

源程序：

// 基于组合方式的求水仙花数程序		
#include 
int main()
{
    int m, a, b, c;
    for (a = 1; a <= 9; a++)
    {
        for(b = 0; b <= 9; c++)
        {
            for(c = 0; c <= 9; b++)
            {
                m = a * 100 + b * 10 + c;	// 由 a,b,c 组合为三位数
                if (m == a * a * a + b * b * b + c * c * c)
                {	
                    printf("%d ", m);
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

运行结果：

153 370 371 407

小结：

以上探求水仙花数的两个程序， 前者是基于分解，把三位数 m 分解为三个数字 a、b、c；后者是基于组合，把三个数字 a、b、c 组合为三位数 m 。在处理整数的程序设计中，这两种手法是经常使用的。

 

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n 位兰德尔数

一个 n  (n >= 3) 位正整数如果等于它的 n 个数字的 n 次幂之和，该数称为 n 位兰德尔数，又称为自方幂数。

 

试探索指定的 n (3 <= n <= 9) 位兰德尔数

 

• 探求设计要点

循环枚举 n 位整数 y，循环分离其 n 个数字 k。

为求 n 位数的 n 个数字 k 的 n 次幂方便，相关 n 位数 t、y、f 及 k 均设置为 double 型，这样数字 k 的 n 次幂即为 pow(k,n); s+=pow(k,n) 即为 y 的 n 个数字的 n 次幂之和。

检测 y=s 即可打印输出 n 位兰德尔数。

• 兰德尔数程序设计

//搜索 n 位兰德尔数
#include 
#include 
int main()
{
    int m, n, i;
    double f, k, s, t, y;
    printf(" 请输入位数 n (2_ ");
    scanf("%d", &n);
    m = 0;
    t = 1;
    for (i = 1; i <= n - 1; i++)
    {
        t = t * 10;
    }
    for (y = t; y <= t * 10 - 1; y++)		//枚举 n 位整数
    {
        f = y;
        for (s = 0, i = 1; i <= n; i++)		//循环分离 y 的 n 个数字 k 
        {
            k = fmod(f, 10);
            s += pow(k, n);
            f = floor(f / 10);		//求 y 的 n 个数字的 n 次幂之和 s
        }
        if (y == s)					//检测是否满足条件
        {
            m++;
            printf(" %.0f ", y);		//输出探索结果
        }
    }
    printf("\n %d 位兰德尔数共 %d 个\n", n, m);
    return 0;
}

程序运行示例

程序枚举的时间复杂度为 O()，当 n>7时运行搜索时间会比较长。

 

此外，我们可以通过运行程序，分别求出所有的玫瑰花数、五角星数、六合数。这里就不再赘述了。可以自己尝试一下然后把你的实现方式放在评论区来和他人分享

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